22 de jan de 2015

Teorema do Quadrilátero Circunscritível

Este artigo trata do quadrilátero circunscrito a uma circunferência. Veremos a condição necessária e suficiente, algumas propriedades e teoremas interessantes e alguns exercícios resolvidos.


Teorema $1$:

Se conduzirmos por um ponto $P$ os segmentos $\overline{PA}$ e $\overline{PB}$, ambos tangentes a uma circunferência $\lambda$, em $A$ e $B$ respectivamente, então $\overline{PA}$ é congruente a $\overline{PB}$:
\begin{equation}
\overline{PA} \equiv \overline{PB}
\end{equation}
Por hipótese temos que $\overline{PA}$ e $\overline{PB}$ são tangentes a $\lambda$, sendo $A$ e $B$ $\in$ $\lambda$. De modo que temos $\overline{PA} \equiv \overline{PB}$.


[Figura 1]

Observando a figura acima, nota-se que os triângulos $\triangle PAO$ e $\triangle PBO$ são congruente, já que compartilham a mesma hipotenusa e um de seus catetos possuem a mesma medida, que são iguais ao raio da circunferência $\lambda$. Assim, $\overline{OP}$ é a hipotenusa de cada triângulo e $\overline{OA} \equiv \overline{OB}$ são os catetos:
\begin{equation}
\triangle PAO \equiv \triangle PBO \Longrightarrow \overline{PA} \equiv \overline{PB}
\end{equation}
Esta demonstração é importante para o que veremos a seguir.

Definição $1$: Quadrilátero circunscrito

Um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência se, e somente se, seus quatro lados são tangentes à circunferência.


[Figura 2]

Na figura acima, o quadrilátero $ABCD$ está circunscrito à circunferência $\lambda$ e cada segmento que constituem seus lados são tangentes nos pontos $X$, $Y$, $Z$ e $W$.

Teorema $2$:

Se um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois.

Esse teorema nos diz que se, por hipótese, o quadrilátero $ABCD$ é circunscrito à circunferência $\lambda$, então temos que:
\begin{equation}
\overline{AB}+\overline{CD} = \overline{AD}+\overline{BC}
\end{equation}
Utilizando os dados obtidos no teorema $1$, sobre a propriedade dos segmentos tangentes, podemos utilizar o raciocínio no quadrilátero circunscrito representado na figura acima, de modo que $X$, $Y$, $Z$ e $W$ são os pontos de tangência dos segmentos $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ e $\overline{DA}$, respectivamente. Assim, temos:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
\overline{AX} & \equiv & \overline{AW}  \\
\overline{BY} & \equiv & \overline{BX} \\
\overline{CZ} & \equiv & \overline{CY} \\
\overline{DW} & \equiv & \overline{DZ}
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Somando membro a membro, obtemos:
\begin{equation}
\overline{AX} + \overline{BX} +\overline{CZ}+\overline{DZ} = \overline{AW}+\overline{BY}+\overline{CY}+\overline{DW}
\end{equation}No entanto:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
\overline{AX}& + & \overline{BX} &=& \overline{AB}\\
\overline{CZ}& + & \overline{DZ} &=& \overline{CD}\\
\overline{AW}& + & \overline{DW} &=& \overline{AD}\\
\overline{BY}& + & \overline{CY} &=& \overline{BC}
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Fazendo as devidas substituições, chega-se a:
\begin{equation}
\overline{AB}+\overline{CD}=\overline{AD}+\overline{BC}
\end{equation}

Exercício $1$:

Determinar o perímetro do quadrilátero $ABCD$, circunscrito:


[Figura 3]

Temos que:
\begin{equation*}
(3p+1) + (p+1) = 3p + 2p\\
4p+2 = 5p\\
p=2
\end{equation*}
Assim, cada lado medirá:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
\overline{AB}& + & 3p+1 &=& 7\\
\overline{BC}& + & 2p &=& 4\\
\overline{CD}& + & p+1 &=& 3\\
\overline{DA}& + & 3p &=& 6
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
E o perímetro será:
\begin{equation*}
\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{DA}=7+4+3+6=20
\end{equation*}

Exercício $2$:

O quadrilátero $ABCD$ é circunscritível e seus lados medem $\overline{DA}=12cm$, $\overline{CD}=9cm$, $\overline{BC}=x+7$ e $\overline{AB}=2x+1$. Determine seu perímetro.


[Figura 4]

Fazemos:
\begin{equation*}
2x+1+9=x+7+12\\
2x+10=x+19\\
x=9
\end{equation*}
O perímetro será:
\begin{equation*}
\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{DA}=19+16+9+12=56cm
\end{equation*}

Exercício $3$:

Calcular o valor do raio da circunferência inscrita no trapézio retângulo.


[Figura 5]

Temos que $\overline{AB}=2r$, Assim:
\begin{equation*}
2r+13=10+15\\
2r=12\\
r=6 u.m.
\end{equation*}

Exercício $4$:

A diferença de dois lados opostos de um quadrilátero circunscritível é igual a $8cm$ e a diferença dos outros dois lados é $4cm$. Determine os lados do quadrilátero sendo $56cm$ a sua soma.

Analisando o problema, podemos construir a imagem abaixo, utilizando da propriedade dos segmentos tangentes, podemos subdividir cada lado do quadrilátero em duas partes, como segue:


[Figura 6]

Da figura acima, obtemos:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
(x+y)-(z+w)&=&8&\quad (1)\\
(y+z)-(w+x)&=&4& \quad (2)\\
x+y+z+w &=&28&\quad (3)
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
De $(1)$, temos que:
\begin{equation*}
x+y=8+z+w
\end{equation*}
Substituindo em $(3)$, obtemos:
\begin{equation*}
8+z+w+z+w=28\\
z+w=10 = \overline{CD}
\end{equation*}
substituindo em $(1)$, obtemos:
\begin{equation*}
x+y=18 = \overline{AB}
\end{equation*}
De $(2)$, temos que:
\begin{equation*}
y+z=4+x+w
\end{equation*}
Substituindo em $(3)$, obtemos:
\begin{equation*}
4+x+w+x+w=28\\
x+w=12 = \overline{DA}
\end{equation*}
Substituindo em $(2)$, obtemos:
\begin{equation*}
y+z-12=4\\
y+z=16=\overline{BC}
\end{equation*}
Portanto, as medidas dos segmentos do quadrilátero são:
\begin{equation*}
\overline{AB}=18cm\\
\overline{BC}=16cm\\
\overline{CD}=10cm\\
\overline{DA}=12cm
\end{equation*}
Podemos verificar o resultado:
\begin{equation*}
18+10=16+12\\
28=28
\end{equation*}

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V9 - Geometria Plana - Osvaldo Dolce & Nicolau Pompeo

Veja mais:

Teorema do quadrilátero inscritível
Teorema do Ângulo Inscrito
Quadriláteros Notáveis

5 comentários:

  1. Bom dia, professor.
    Apenas uma observação, na identidade (4): AX=AW
    Muito bom, o artigo.
    Parabéns.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Obrigado pela leitura atenta! Corrigido! Abraços.

      Excluir
  2. No exercício 3, gostaria de uma explicação: a maioria das resoluções desta questão, usa-se o teorema de Pitágoras para saber a altura a fim de calcular o lado que forma os ângulos de 90º. Este lado teria a mesma medida da diagonal?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá. Posso não ter entendido sua pergunta direito, mas se o lado AB forma ângulos retos com os lados adjacentes, então sempre será um cateto, logo sempre será menor do que qualquer diagonal.

      Excluir
  3. Olá. Fazendo no Geogebra quadriláteros cuja soma dos opostos é igual, vemos que são todos circunscritíveis. Portanto a construção do Geogebra sugere que vale a volta do Teorema 2, isto é, se a soma dos lados opostos é igual, o quadrilátero tem uma circunferência que o circunscreve. Como provar?

    ResponderExcluir

Por favor, leiam antes de comentar:

▪ Escreva um comentário apenas referente ao tema;

▪ Para demais, utilize o formulário de contato;

▪ Comentários ofensivos ou spans não serão publicados;

▪ Desde o dia 23/07/2013, todos os comentários passaram a ser moderados. Para maiores detalhes, veja a nota de moderação aqui;

▪ É possível escrever fórmulas em $\LaTeX$ nos comentários deste blog graças a um script da Mathjax. Para fórmulas inline ou alinhadas à esquerda, escreva a fórmula entre os símbolos de $\$$; Para fórmulas centralizadas, utilize o símbolo duplo $\$\$$.

Por exemplo, a^2 + b^2 = c^2 entre os símbolos de $\$\$$, gera:
$$a^2+b^2=c^2$$
▪ Para visualizar as fórmulas em $\LaTeX$ antes de publicá-las, acessem este link.

Seu comentário é o meu Salário!

Redes Sociais

Arquivo do Blog

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...