15/08/2009

Demonstração da Área do Círculo

Para esta demonstração, utilizaremos conceitos básicos de Geometria e Limites.

Inicialmente, vamos relembrar alguns conceitos:

1) Para qualquer polígono regular, sua área é dada pela fórmula:

clip_image002

Polígono n=6 400

onde:

AP é a área do polígono

l é o comprimento do apótema do polígono

n é o número de lados do polígono

s é o comprimento de cada lado do polígono

2) Dado um círculo inscrito a um polígono regular, o raio deste círculo é igual ao apótema do polígono.

Círculo inscrito 400

3) PI é a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo.

clip_image002[4]

onde:

C é a circunferência do círculo

D é o diâmetro do círculo, que equivale a 2r

Demonstração:

Construímos, então, um círculo de raio r inscrito a um polígono regular de n lados. O apótema deste polígono é igual ao raio do círculo.

Círculo inscrito n lados 400

Representamos:

AC como área do círculo

AP como área do polígono

P o perímetro do polígono

C a circunferência do círculo

Então:

clip_image002[6]

e

clip_image002[8]

Além disso, se n cresce indiscriminadamente, o polígono de n lados se confunde com o círculo circunscrito e obtemos os limites:

clip_image002[10]                    ( I )

e

clip_image002[12]                           ( II )

Uma vez que PI é a razão da circunferência pelo diâmetro de um círculo, temos que:

clip_image002[14]                                ( III )

Então, se substituirmos ( II ) em ( III ), obtemos:

clip_image002[18]                 ( IV )

Se multiplicarmos o numerador e o denominador de ( I ) por r, obtemos:

clip_image002[3]       ( V )

Mas, de ( IV ) temos que :

clip_image002[5]

e se substituirmos em ( V ), obtemos:

clip_image002[7]

que é a famosa fórmula para cálculo da área do círculo.


Veja mais:

Uma Demonstração para a Área do Pentágono
Demonstração da Área da Esfera
Igualdade Entre um Círculo Tangente a uma Esfera Inscrita e a Coroa Circular do Círculo Máximo da Esfera Circunscrita

6 comentários:

  1. Muito obrigado.

    ResponderExcluir
  2. Olá amigo. Postei a demonstração no meu blog. Fiz uma imagem mostrando o crescimento do número de lados do polígono com o círculo inscrito. Se quiser usar minha imagem em sua postagem, fique à vontade:
    http://srdongones.tumblr.com/post/4366390251

    ResponderExcluir
  3. Olá Guilherme,
    Agradeço por citar meu blog. Vou dar uma olhada nas figuras e em seu blog.
    Um abraço.

    ResponderExcluir
  4. Demonstrei de outra forma, mas seguindo os mesmos princípios. Talvez te interesse. Vê:
    http://www.pdf-archive.com/2013/05/31/demonstracao-area-compr-circulo-circunferencia/.

    ResponderExcluir

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