Demonstração da Área do Círculo

Para esta demonstração, utilizaremos conceitos básicos de Geometria e Limites.

Inicialmente, vamos relembrar alguns conceitos:

1) Para qualquer polígono regular, sua área é dada pela fórmula:

onde:

A_P é a área do polígono

l é o comprimento do apótema do polígono

n é o número de lados do polígono

s é o comprimento de cada lado do polígono

2) Dado um círculo inscrito a um polígono regular, o raio deste círculo é igual ao apótema do polígono.

3) PI é a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo.

onde:

C é a circunferência do círculo

D é o diâmetro do círculo, que equivale a 2r

Demonstração:

Construímos, então, um círculo de raio r inscrito a um polígono regular de n lados. O apótema deste polígono é igual ao raio do círculo.

Representamos:

A_C como área do círculo

A_P como área do polígono

P o perímetro do polígono

C a circunferência do círculo

Então:

e

Além disso, se n cresce indiscriminadamente, o polígono de n lados se confunde com o círculo circunscrito e obtemos os limites:

                    ( I )

e

                           ( II )

Uma vez que PI é a razão da circunferência pelo diâmetro de um círculo, temos que:

                                ( III )

Então, se substituirmos ( II ) em ( III ), obtemos:

                 ( IV )

Se multiplicarmos o numerador e o denominador de ( I ) por r, obtemos:

       ( V )

Mas, de ( IV ) temos que :

e se substituirmos em ( V ), obtemos:

que é a famosa fórmula para cálculo da área do círculo.

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Veja mais:

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Igualdade Entre um Círculo Tangente a uma Esfera Inscrita e a Coroa Circular do Círculo Máximo da Esfera Circunscrita

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