Este artigo é baseado em um problema encontrado na página Clubes de Matemática da OBMEP, que consiste em encontrar o maior valor para a razão de uma Progressão Aritmética, dados 3 termos aleatórios da sequência.
Problema:
Determinar o maior valor que pode ter a razão de uma PA que admita os números $32$, $227$ e $942$ como termos da progressão (não necessariamente consecutivos).
Inicialmente, vamos relembrar que em uma progressão aritmética (PA) a razão $r$ é a diferença entre dois termos consecutivos:
Seja $r$ a razão da PA. Se os números $32$, $227$ e $942$ pertencem a essa progressão, então existem números inteiros positivos $m$ e $n$ tais que:
- $227 - 32 = m \cdot r$
- $942 - 227 = n \cdot r$
Calculamos as diferenças entre os números:
- $227 - 32 = 195$
- $942 - 227 = 715$
Isso implica que a razão $r$ deve ser um divisor comum de $195$ e $715$.
O maior divisor comum para $r$ será o Máximo Divisor Comum (MDC) entre $195$ e $715$. Vamos decompô-los em fatores primos:
- $195 = 3 \cdot 5 \cdot 13$
- $715 = 5 \cdot 11 \cdot 13$
Os fatores comuns entre $195$ e $715$ são $5$ e $13$. Portanto:
$$ MDC(195,715) = 5 \cdot 13 = 65 $$Assim, o maior valor que a razão $r$ pode assumir é $65$.
Para encontrarmos a posição dos números $32$, $227$ e $942$ na sequência, utilizamos a fórmula
$$ a_n = a_k + (n-k)r $$Onde:
- $a_n$ é o valor do termo que queremos encontrar a posição
- $a_k$ é o valor de um termo de referência, neste caso, o número $32$
- $k$ é a posição do termo na sequência
- $n$ é a posição que desejamos descobrir
- $r$ é a razão $65$
Como o problema não especifica qual é o primeiro termo da sequência, vamos definir que o número $32$ ocupa a posição $k$.
Encontrando a posição do número $227$
$$ a_n = a_k + (n-k)r\\ \ \\ 227 = 32 + (n_{227} - k) \cdot 65 \\ \ \\ 227 -32 = (n_{227} - k) \cdot 65 \\ \ \\ 195 = (n_{227} - k) \cdot 65 \\ \ \\ n_{227}-k = \dfrac{195}{65} \\ \ \\ n_{227} -k = 3 \\ \ \\ n_{227} = k+3 $$Desta forma, o número $227$ ocupa a posição $k+3$ na sequência.
Encontrando a posição do número $942$
$$ a_n = a_k + (n-k)r\\ \ \\ 942 = 32 + (n_{942} - k) \cdot 65 \\ \ \\ 942 -32 = (n_{942} - k) \cdot 65 \\ \ \\ 910 = (n_{942} - k) \cdot 65 \\ \ \\n_{942}-k = \dfrac{910}{65} \\ \ \\ n_{942} -k = 14 \\ \ \\ n_{942} = k+14 $$
Desta forma, o número $942$ ocupa a posição $k+14$ na sequência.
Se definirmos $32$ como o primeiro termo da sequência, teremos $k=1$. Assim:
$a_1 = 32$
$a_{k+3} = 227 \longrightarrow a_4 = 227$
$a_{k+14} = 942 \longrightarrow a_{15} = 942$
Podemos escrever os 15 primeiros termos da sequência:
$$ \begin{align*} & a_1 = 32\\ & a_2 = a_1+r = 32+65=97\\ & a_3 = a_1+2r = 32+2\cdot 65 = 162\\ & a_4 = a_1+3r = 32+3\cdot 65 = 227\\ & a_5 = a_1+4r = 32+4\cdot 65 = 292\\ & a_6 = a_1+5r = 32+5\cdot 65 = 357\\ & a_7 = a_1+6r = 32+6\cdot 65 = 422\\ & a_8 = a_1+7r = 32+7\cdot 65 = 487\\ & a_9 = a_1+8r = 32+8\cdot 65 = 552\\ & a_{10} = a_1+9r = 32+9\cdot 65 = 617\\ & a_{11} = a_1+10r = 32+10\cdot 65 = 682\\ & a_{12} = a_1+11r = 32+11\cdot 65 = 747\\ & a_{13} = a_1+12r = 32+12\cdot 65 = 812\\ & a_{14} = a_1+13r = 32+13\cdot 65 = 877\\ & a_{15} = a_1+14r = 32+14\cdot 65 = 942\\ \end{align*} $$
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