Solução geométrica para o problema dos carros

Considere o problema a seguir: Quatro carros viajam pela mesma estrada em velocidades constantes. Os carros $A$, $B$ e $C$ seguem num mesmo sentido, enquanto o carro $D$ segue em sentido oposto.

O carro $A$ viaja atrás do carro $B$, que viaja atrás do carro $C$, todos eles há uma distância grande um do outro.

O carro $A$ ultrapassou o carro $B$ às 8 horas; em seguida ultrapassou o carro $C$ às 9 horas e foi o primeiro cruzar com o carro $D$ às 10 horas. O carro $D$ cruzou com o carro $B$ às 12 horas e com o carro $C$ às 14 horas.

A questão é: a que horas o carro $B$ ultrapassou o carro $C$?

Como o problema inicia com a ultrapassagem do carro $A$ pelo carro $B$ às 8 horas, vamos tomar 8 como sendo a origem do sistema cartesiano.

Como os veículos deslocam-se a velocidades constantes, podemos representá-los através de retas, cujas inclinações indicam o quão mais rápido desloca-se um carro em relação ao outro: quanto mais inclinada for a reta, maior a velocidade do carro!

Fica claro que o carro $A$ está mais rápido do que os outros, logo este percorre uma distância maior em menos tempo; logo a inclinação da reta que representa o carro $A$ é a mais inclinada. A reta $B$ será menos inclinada e ainda menos para o carro $C$. Essas retas podem estar representadas pela equação:

$$
ax+b=y
$$

e como os três carros seguem o mesmo sentido, tomamos o coeficiente a como positivo e, portanto, teremos três retas geradas por funções crescentes. Já para o carro $D$, que viaja em sentido oposto, representamos pela reta D, que é gerada por uma função decrescente.

Às 8 horas, portanto, os carros $A$ e $B$ estão juntos no mesmo ponto $O$ da estrada (origem) enquanto o carro $C$ está em algum ponto $V$ à sua frente; e o carro $D$ está mais à frente num ponto $U$.

Vejam que o carro $A$ ultrapassou o carro $C$ às 9 horas, indiquemos com um ponto $P$. A seguir, o carro $A$ seguiu e cruzou com o carro $D$ às 10 horas, indiquemos esse ponto por $Q$.

Os pontos $S$ e $R$ marcam o momento em que o carro $D$ cruzou com o carro $B$ às 12 horas e com o carro $C$ às 14 horas. O problema se resume em descobrir qual é a hora no ponto $T$.

Examinando o gráfico note que o tempo gasto pelo carro $A$ para se deslocar do ponto $O$ ao ponto $P$ é o mesmo para se deslocar de $P$ a $Q$, ou seja 1 hora, então, os seguimentos de retas $OP$ e $PQ$ são iguais.

Ao longo da reta $d$, os seguimentos de reta $QS$ e $SR$ também são iguais. Portanto, no triângulo $OQR$, $OS$ é a mediana do ângulo $QOR$ e $RP$ é a mediana do ângulo $QRO$. Isso nos leva a um problema simples de geometria: o ponto $T$ se transforma no baricentro do triângulo $OQR$.

Já vimos a como encontrar o baricentro de um triângulo e que está relacionado como:

$$
\overline{OT} =\frac{2}{3} \cdot \overline{OS}
$$
Então, a hora no ponto $T$ é igual a dois terços do tempo decorrido do ponto $O$ ao ponto $S$:
$$
h(T) = 8 + \frac{2}{3} \cdot 4 \\
\ \\
h(T) = \frac{32}{3}
$$

Isso nos leva a concluir que o carro $B$ passou o carro $C$ às $10h30$.

Referências:

• Revista Cálculo nº1

Links para este artigo:

• bit.ly/problema-carros
• https://www.obaricentrodamente.com/2020/03/solucao-geometrica-para-o-problema-dos-carros.html

Veja mais:

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• Quebra-cabeça dos macaquinhos
• Uma solução geométrica para o problema das idades