04/04/2020

65537-gono: o polígono de 65537 lados construtível com régua e compasso

65537-gono, o polígono de 65537 lados

O 65537-gono é um polígono regular de 65.537 lados e é de interesse por ser um polígono construtível com régua e compasso apenas. Isto porque 65.537 é um número primo de Fermat, sendo da forma:
$$
2^{2^n}+1
$$
neste caso, $n = 4$. Os números primos de Fermat conhecidos até o momento são: $3$, $5$, $17$, $257$ e $65537$.

A soma dos ângulos internos de um 65537-gono é igual a $11.796.300^\circ$ e pode ser calculada pela fórmula:
$$
S = (n-2) \cdot 180^\circ\\
\ \\
S = (65537 - 2) \cdot 180^\circ\\
\ \\
S = 11.796.300^\circ
$$
A área de um 65537-gono pode ser calculada pela fórmula:
$$
A = \frac{65537}{4} t^2 \ \text{cot} \left( \frac{\pi}{6557}\right)
$$
onde $t$ é a medida da aresta.

Um 65537-gono regular não é visualmente discernível de um círculo, e seu perímetro difere de um círculo circunscrito cerca de 15 partes por bilhão.

Gauss, em 1801, publicou uma prova de que polígonos cujo número de lados são números primos de Fermat, são construtíveis com régua e compasso. 

Apesar de já ser conhecida por Gauss sua construção, as primeiras construções explícitas de um 65537-gono foi dada por Hermes em 1894.

O matemático alemão Johann Gustav Hermes (1846-1912) é conhecido pela construção de um polígono regular de 65537 lados com régua e compasso.

Hermes nasceu em Königsberg (atual Kaliningrado, Rússia), uma antiga cidade polonesa que passou a ser parte do império alemão a partir de 1871, célebre pelo problema das sete pontes de Königsberg, resolvido por Euler em 1736.

Estudou matemática de 1866 a 1870, quando teve que abandonar os estudos para participar da Guerra Franco-Prussiana entre 1970 e 1871. Após seu retorno, finalizou seus estudos, recebendo seu doutorado em 1879, apresentando sua dissertação sobre a Redução do problema da ciclotomia em equações lineares para números primos do tipo $2^{m+1}$.

Em 1894, Hermes completou um manuscrito, após 10 anos, onde descrevia um complexo procedimento para a construção de um polígono regular de 65537 lados utilizando apenas régua e compasso.

Esse manuscrito possui mais de 200 páginas e hoje está disponível para consulta na Universidade de Göttingen. A versão digitalizada pode ser acessada através do link do Google Drive.

Referências:


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COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: 65537-gono: o polígono de 65537 lados construtível com régua e compasso. Publicado por Kleber Kilhian em 04/04/2020. URL: . Leia os Termos de uso.


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