19/07/2011

Como Determinar O Ângulo Interno De Um Polígono Regular

Neste post, vamos ver como determinar o ângulo interno de um polígono regular qualquer a partir de seu número de lados. Um método simples é decompor o polígono em triângulos, traçando diagonais a partir de um único vértice, pois sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180° e assim fica mais fácil. Assim, podemos concluir que:

1) Para o polígono regular de 4 lados, o quadrado, podemos decompô-lo em 2 triângulos:

image

2) Para o polígono regular de 5 lados, o pentágono, podemos decompô-lo em 3 triângulos:

image

3) Para o polígono regular de 6 lados, o hexágono, podemos decompô-lo em 4 triângulos:

image

4) Para o polígono regular de 7 lados, o heptágono, podemos decompô-lo em 5 triângulos:

image

Vejam que há uma associação entre o número de lados do polígono e a quantidade de triângulos em que podemos decompô-lo. Assim, montamos a tabela:

imageDesta forma, encontramos a lei de formação e chegamos à conclusão que o número de triângulos (T) formado pelas diagonais partindo de um único vértice é igual ao número de lados do polígono menos 2:

clip_image010

Para o quadrado, onde podemos dividi-lo em dois triângulos, temos que a soma dos ângulos internos será de:

image clip_image014

E o ângulo interno formado por cada vértice será dado pela divisão de 360° pelo número de lados do polígono:

clip_image016

Seguindo o mesmo raciocínio para outros polígonos regulares, chegamos à fórmula:

clip_image018

Onde α é o ângulo interno de cada vértice, T é o número de triângulos em que o polígono pode ser decomposto e N é o número de lados deste polígono.

Mas T = N – 2 , logo:

clip_image020

Construímos então uma tabela onde se relaciona o número de lados de um polígono com o ângulo interno de cada vértice:

imageVejam que quanto o número de lados de um polígono cresce, tendendo ao infinito, mais perto de 180° é o ângulo interno dos vértices. Isso quer dizer que, se ampliarmos um dos vértices veremos os segmentos que formam o ângulo alfa tendendo a uma reta.


Veja mais:

Teorema da Base Média de um Triângulo
O Retângulo Prateado
Demonstração dos Ângulos Notáveis
Ângulos entre Circunferências e Circunferências Ortogonais

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40 comentários:

  1. Obrigado pelo esclarecimento.
    Um leitor de Portugal :)

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  2. Olá Amigo,
    Agradeço seu comentário e reconhecimento.
    Um abraço.

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  3. Obrigado pela ajuda,tenho prova de matématica amanhã. E confesso que não estava sabendo muito bem a matéria,mas depois de visitar o seu site..consegui tirar quase todas as minhas dúvidas.

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  4. Obrigado, ajudou muito em minha pesquisa, acredite ou não sou do 8°ano e estou fazendo um trabalho de 15 paginas

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    1. também sou do 8 ano, mas meu trabalho tem 51 páginas, e 94 questões /:

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    2. Também sou do 8 e me ajudou no meu trabalho de 8 páginas

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  5. Olá amigo,

    Que bom que pude te ajudar de alguma forma.

    Não pense que só porque é do 8º ano não pode fazer trabalhos de 15 páginas ou mais e com qualidade, muito pelo contrário. Para ter um bom resultado, procure fontes confiáveis e cite-as no final do trabalho; seja curioso e questionador; procure algo não-comum e obtenha seu diferencial.

    Um abraço!

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    1. Este comentário foi removido pelo autor.

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  6. Muito Obrigado !

    Um abraço para os redatores dessa excelente matéria !

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  7. Muito bem explicado!!

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  8. não mi ajudou mas é que eu queria saber quais são os ângulos de polígono

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    1. Keriida , se naun te ajudoou vazaa , praa ouutro siitii, Ne o Jumenntiinha -'-

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  9. Me ajuudou bastaante goosteyy valeww ,tenhoo prova de matematicaa hooje , Preciiso estuudar , pra naaun tiirar noota baaaixaa *-* KK*

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  10. Obrigada. Valeu por dividir seus conhecimentos, diminuir nossas dúvidas e ajudar na multiplicação de boas notas. Somou mais um admirador. :)

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  11. adorei a pagina sobre angulos.

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  12. Lados Soma dos ângulos internos Angulo interno
    3 180º 60
    4 360º 90
    5 540º 108
    6 720º 120
    7 900º 128,57..
    8 1080 135
    9 1260 140
    10 1440 144
    Partindo sempre dos 180º para 3 lados soma-se 180º por cada lado a mais, e divide-se pelo número de lados. Verifique pf.

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  13. muito facil e bem dificil ao mesmo tempo.......

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  14. Muito bem facil para quem sabe!

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  15. se puder ajudar a descobrir esse angulo interno agradeço. as unicas informações q tenho sao Azimute P1-P2 e 58°15'28" distancia P1-P2=118,234m distancia P1-P3=126,307m, preciso descobrir distancia P2-P3 e angulo interno P1_P2-P3. e um triangulo formado pelos vértices P1, P2, P3

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  16. Valeu amigo!! Me ajudou muito!!! Sou do nono ano e não estava conseguindo fazer um trabalho e você esclareceu minhas dúvidas!!! Valeeu!!!

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  17. - Ajudo muito Valeu , tinhaa lição pra noota hojee , ee tireei 10 poor essa Paginaa Obrigadaa viiu , #tmj , Ameei agoora só aqi qe ireei pesquisar coisas soobre >_< KK *-*

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  18. Vaaaleeeeeeeeeu ! poor mee ajudaa , naau sóo eeu comoo todoos aqqi , Obrigadaa de coraçaao Vaaaleeuuuu mais uma veez , só queria sabeer oo aangulo do dodecagoono ?! Mee ajudaa poor favoor ! ! rss

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    1. O dodecágono possui 12 lados com ângulo interno de 150°. Veja na tabela no fim do artigo.

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  19. Não estava me lembrando dessa fórmula,valeu mesmo!

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    1. legal, pena q ngm te perguntou.

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  20. Me ajude!!
    Preciso saber o nome do poligono cujo ângulo interno mede 15°

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  21. Amigo, não existe um polígono regular com ângulo interno igual a 15°.

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  22. ajudou bastanteee vlww

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  23. Oooi me ajudou mtt..tenho avaliação amanha mais eu só queria sabe quanto é medida do ângulo interno de um decágono regular

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  24. Adorei a postagem!!!Me auxiliou bastante no estudo ,para a minha recuperação final!!!

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  25. Essa matéria, me ajudou, MUITO:Pretendo construir uma piscina, em minha casa, no formato poligonal, com VINTE LADOS.Graças à TABELA, que existe aqui, fiquei sabendo, que o ÂNGULO que deve existir, entre duas paredes dessa piscina, deve medir 162 graus.Então, é só fazer um GABARITO, para ajudar o pedreiro, na hora de levantar as paredes.Muito obrigado, Tiburtino Lacerda.

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    Respostas
    1. Olá Tiburtino. Que aplicação fantástica! Se possível, tire fotos do processo de construção e compartilhe conosco!

      abraços

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  26. Preciso de ajuda nesse problema: A medida de um ângulo interno de um polígono convexo regular é de 150º. Quantas diagonais tem esse polígono? Obrigada!!!!

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    1. Olá. O polígono que possui ângulos internos igual a 150° é o polígono de 12 lados, como pode ser visto na tabela acima.

      O número de diagonais de um polígono é dado pela fórmula:
      $$d = \frac{N(N-3)}{2}$$
      Onde $N$ é o número de lados do polígono. Assim:
      $$d = \frac{12(12-3)}{2}=\frac{12\cdot 9}{2}=54$$
      Assim o polígono com ângulo interno de 150° possui 54 diagonais.

      Veja o artigo neste link:

      http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2014/04/como-determinar-o-numero-de-diagonais.html

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  27. Gostei da explicação! Muito boa!

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  28. É Tem Exemplos Tipo de Questões Na de Citações Sobre o Angulo interno de um poligono regular com respostas ???

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  29. Respostas
    1. Olá Rita, desculpe responder somente agora, mas o blogger não me notificou de seu comentário.

      Eu acho super importante citar as fontes pesquisadas, mas neste caso, não pus referências porque foi eu quem desenvolveu o raciocínio.

      Obrigado pelo comentário e um abraço!

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