12/04/2020

A soma de dois número ímpares consecutivos é divisível por 4

A soma de dois número ímpares consecutivos é divisível por 4

Veremos neste artigo que a soma de quaisquer números ímpares consecutivos é divisível por 4.

Dado um número $N$, se $a$ é um fator de $N$, então $N$ é divisível por $a$. Vejamos um exemplo: Seja $N=15$. A decomposição em fatores primos do número $15$ resulta nos números $3$ e $5$. Temos que:
$$
3 \times 5 = 15
$$
Sendo assim, $15$ é divisível tanto por $3$, como por $5$. Vamos utilizar esse conceito para a demonstração que segue.

Teorema: A soma de dois números ímpares consecutivos é divisível por 4.

Antes de prosseguir para a prova, vejamos alguns exemplos:
  • $5+7=12$, e $12$ é divisível por $4$;
  • $15+17=32$, e $32$ é divisível por $4$;
  • $51+53=104$, e $104$ é divisível por $4$;
  • $1049 + 1051 = 2100$, e $2100$ é divisível por $4$.

Uma forma de saber se um número é divisível por $4$ basta usar o critério de divisibilidade:

Um número é divisível por $4$ se terminar com $00$ ou se número formado pelos dois últimos algarismos for divisível por $4$.

O que mostra que os quatro exemplos acima realmente são divisíveis por $4$.

Podemos definir um número inteiro ímpar como:
$$
I = \left \{ x \in \mathbb{Z}\ | \ x=2n+1, \forall \ n \in \mathbb{Z}\right \}
$$
Desta forma:
  • Se $n=0$, temos que $x=1$;
  • Se $n=1$, temos que $x=3$;
  • Se $n=2$, temos que $x=5$.

Essa demonstração pode ser encontrada na internet, o que não é o foco aqui. Vamos assumir que um número ímpar é formado por $2n+1$ para todo $n$ pertencente aos números inteiros.

Se $2n+1$ é um número ímpar, o próximo número ímpar é dado por $2n+3$ e para representar a soma de dois números ímpares consecutivos, fazemos:
$$
(2n+1) + (2n+3) = 4n+4
$$
Fatorando, temos:
$$
(2n+1) + (2n+3) = 4(n+1)
$$
Temos então que $4$ é um fator de $4n+4$ e, portanto, $4n+4$ é divisível por $4$, implicando que a soma de dois números ímpares consecutivos é divisível por $4$.

Links para este artigo:


Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: A soma de dois número ímpares consecutivos é divisível por 4. Publicado por Kleber Kilhian em 12/04/2020. URL: . Leia os Termos de uso.


Siga também o blog pelo canal no Telegram.
Achou algum link quebrado? Por favor, entre em contato para reportar o erro.
Leia a política de moderação do blog. Para escrever em $\LaTeX$ nos comentários, saiba mais em latex.obaricentrodamente.com.

Um comentário:

Whatsapp Button works on Mobile Device only

Pesquise no blog