31/03/2020

Solução geométrica para o problema dos carros

Considere o problema a seguir: Quatro carros viajam pela mesma estrada em velocidades constantes. Os carros $A$, $B$ e $C$ seguem num mesmo sentido, enquanto o carro $D$ segue em sentido oposto.

O carro $A$ viaja atrás do carro $B$, que viaja atrás do carro $C$, todos eles há uma distância grande um do outro.

O carro $A$ ultrapassou o carro $B$ às 8 horas; em seguida ultrapassou o carro $C$ às 9 horas e foi o primeiro cruzar com o carro $D$ às 10 horas. O carro $D$ cruzou com o carro $B$ às 12 horas e com o carro $C$ às 14 horas.

A questão é: a que horas o carro $B$ ultrapassou o carro $C$?

Solução geométrica para o problema dos carros

Como o problema inicia com a ultrapassagem do carro $A$ pelo carro $B$ às 8 horas, vamos tomar 8 como sendo a origem do sistema cartesiano.

Como os veículos deslocam-se a velocidades constantes, podemos representá-los através de retas, cujas inclinações indicam o quão mais rápido desloca-se um carro em relação ao outro: quanto mais inclinada for a reta, maior a velocidade do carro!

Fica claro que o carro $A$ está mais rápido do que os outros, logo este percorre uma distância maior em menos tempo; logo a inclinação da reta que representa o carro $A$ é a mais inclinada. A reta $B$ será menos inclinada e ainda menos para o carro $C$. Essas retas podem estar representadas pela equação:
$$
ax+b=y
$$
e como os três carros seguem o mesmo sentido, tomamos o coeficiente a como positivo e, portanto, teremos três retas geradas por funções crescentes. Já para o carro $D$, que viaja em sentido oposto, representamos pela reta D, que é gerada por uma função decrescente.

Às 8 horas, portanto, os carros $A$ e $B$ estão juntos no mesmo ponto $O$ da estrada (origem) enquanto o carro $C$ está em algum ponto $V$ à sua frente; e o carro $D$ está mais à frente num ponto $U$.

Vejam que o carro $A$ ultrapassou o carro $C$ às 9 horas, indiquemos com um ponto $P$. A seguir, o carro $A$ seguiu e cruzou com o carro $D$ às 10 horas, indiquemos esse ponto por $Q$.

Os pontos $S$ e $R$ marcam o momento em que o carro $D$ cruzou com o carro $B$ às 12 horas e com o carro $C$ às 14 horas. O problema se resume em descobrir qual é a hora no ponto $T$.

Examinando o gráfico note que o tempo gasto pelo carro $A$ para se deslocar do ponto $O$ ao ponto $P$ é o mesmo para se deslocar de $P$ a $Q$, ou seja 1 hora, então, os seguimentos de retas $OP$ e $PQ$ são iguais.

Ao longo da reta $d$, os seguimentos de reta $QS$ e $SR$ também são iguais. Portanto, no triângulo $OQR$, $OS$ é a mediana do ângulo $QOR$ e $RP$ é a mediana do ângulo $QRO$. Isso nos leva a um problema simples de geometria: o ponto $T$ se transforma no baricentro do triângulo $OQR$.

Já vimos a como encontrar o baricentro de um triângulo e que está relacionado como:
$$
\overline{OT} =\frac{2}{3} \cdot \overline{OS}
$$
Então, a hora no ponto $T$ é igual a dois terços do tempo decorrido do ponto $O$ ao ponto $S$:
$$
h(T) = 8 + \frac{2}{3} \cdot 4 \\
\ \\
h(T) = \frac{32}{3}
$$
Isso nos leva a concluir que o carro $B$ passou o carro $C$ às $10h30$.

Referências:

  • Revista Cálculo nº1

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Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Solução geométrica para o problema dos carros. Publicado por Kleber Kilhian em 31/03/2020. URL: . Leia os Termos de uso.


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12 comentários:

  1. Olá, Kleber!
    Só você mesmo, para tornar o complexo em uma coisa simples! Rsrsrsrs! Quando bati a vista no gráfico V x T e diante de serem os carros animados por movimentos MUV, pensei em muitas dificuldades para a obtenção da resposta. Mas, até que não é difícil. Parabéns, pela aula e pelo post, mestre!
    Um abraço!!!!!

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  2. Olá Valdir,

    Obrigado pelo comentário. Quando vi este artigo na revista, achei muito interessante. Então, remodelei o texto para uma leitura melhor.

    Um abraço!

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  3. Muito legal o post, mas há um erro: a reta OS nâo é a Bissetriz, mas a Mediana do ângulo QÔR; por isso o Baricentro, que é o ponto de encontro das Medianas.

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  4. Olá Ramos, bem observado. Já estou corrigindo esse deslize.

    Abraços.

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  5. Oi, Kleber!

    Este problema não só saiu na revista que referiu como também na edição especial dela "Desafios Matemáticos 02", que saiu no ano passado.

    A resolução do problema é realmente é engenhosa. Já viu algum com MU e/ou MUV?

    Uma vez pensei na seguinte situação. Seja o gráfico de uma função qualquer. Se a abcissa x do ponto tem velocidade constante v=+1, qual a velocidade do ponto no trajeto da curva em função de x???

    Eu lembro que no MHS, é ao contrário. Neste caso temos um MCU e a abcissa realiza um MHS.

    Um abraço!

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    1. Olá Aloísio,

      É um problema legal mesmo, não é a toa que foi bem explorado. Não vi nenhum com MU ou MUV, também não procurei, mas acredito que seja possível a resolução utilizando gráficos, como este.
      Obrigado por comentar, amigo!

      Um abraço!

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  6. Isso sim é o que eu posso chamar de traduzir o enunciado de um problema matemático. Foi muito engenhoso e sua explicação ajudou bastante na compreensão da resolução desta pergunta que ao primeiro olhar nos parece tão complexa e confusa. Parabéns Kleber você realmente sabe como explicar uma matéria, por mais complexa que ela possa parecer você a faz ficar simples e de fácil entendimento até mesmo para um leigo no assunto...

    Ótima publicação Kleber, um abraço e até a próxima!!!

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    1. Olá Romirys, este problema retirei da revista citada nas referências. Fizeram uma abordagem bem didática que ficou muito boa. Gosto de artigos assim: que possam ser explorados e bem explicados.

      Um abraço!

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  7. A penúltima equação está errada, não?

    Deveria ser [;h(T) = 8 + \frac{2}{3}.4 ;]

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  8. Ótima postagem, das que vale a pena memorizar pra jogar na cara dos professores de física algebristas. ;)

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    1. Olá Victor, obrigado por relatar o erro. Passou despercebido. Já está corrigido.

      É uma abordagem diferente das utilizada nas aulas de Física, sendo uma boa solução, mas não é a mais prática, pois demora para analisar cada caso, mas serve como integração entre as disciplinas. Vale a pena!

      Um abraço!

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  9. Nossa, meu amigo! Lembrei agora que tenho um monte de revistas Cálculo lacradas aqui. Iria usar para sorteios programados no blog e na época e não deu certo fazer. Gostei muito do post. Abraço!

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