Se você costuma colocar o sinal de $\pm$ (mais ou menos) quando extrai a raiz quadrada de um número, está cometendo um erro muito comum.
$$ \sqrt{9} = \pm 3 $$Esta afirmação é falsa! Não tem como um número assumir dois valores: ora positivo, ora negativo.
O número real $\sqrt{9}$ está localizado em apenas um ponto da reta numérica.
Então, de onde vem essa confusão?
A confusão nasce da distinção entre a função raiz quadrada e a equação de segundo grau. Uma coisa é calcular a raiz quadrada de $9$; outra é determinar quais número que elevados ao quadrado resulta em $9$.
A função raiz quadrada (Aritmética)
Na Aritmética e no Cálculo, a função $f(x)=\sqrt{x}$ é definida como a função que retorna apenas valores não negativos.
$$ \sqrt{a} = b \Longleftrightarrow b^2=a $$sendo $b \geq 0$.
Essa definição contém duas informações importantes:
- A raiz quadrada é única
- A raiz é sempre não negativa
Por exemplo:
$$ \sqrt{9} = 3 $$A raiz quadrada de $9$ é apenas $3$, muito embora, $(-3)^2$ também resulte em $9$, mas o símbolo da raiz $\sqrt{\ \ \ }$ aplica-se, neste caso, exclusivamente ao resultado positivo para que seja considerada uma função válida (um único valor de saída para cada valor de entrada).
A equação quadrática
Quando resolvemos uma equação como por exemplo $x^2=9$, estamos buscando todos os valores possíveis para $x$ que satisfazem a igualdade.
Para isolar o $x$, aplicamos a raiz quadrada em ambos os membros:
$$ \sqrt{x^2} = \sqrt{9} $$Agora, para eliminar o quadrado de $x$, não basta apenas "cortar" o expoente $2$ com o índice da raiz. Temos que garantir que o resultado não seja negativo porque o resultado de uma raiz de índice par nunca será negativo.
O que fazemos é aplicar o módulo de $x$ no membro da esquerda, e, no membro da direita, calcular a raiz quadrada de $9$, que resulta em $3$:
$$ |x| = 3 $$O símbolo $\pm$ vem da resolução da equação modular.
O módulo de um número representa a sua distância até a origem (zero) na reta numérica, independentemente do sentido.
A pergunta que devemos fazer é: Quais números estão a uma distância de $3$ unidades da origem?
Analisando a reta numérica, fica claro que a distância de $x$ até a origem é de $3$ unidades da direita para a esquerda (positivo) e $3$ unidades da esquerda para a direita (negativo):
Assim:
$$ x = \pm 3 $$Uma forma prática de demonstrar que o símbolo $\pm$ não pertence à raiz, mas sim à estrutura da equação, está na dedução da Fórmula de Bháskar para $ax^2+bx+c=0$.
Em um certo ponto da dedução, onde precisamos completar quadrados, temos:
$$ \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2} $$Para eliminar o expoente, extraímos a raiz quadrada de ambos os membros:
$$ \sqrt{\left( x+\frac{b}{2a} \right)^2} = \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} $$Obtendo:
$$ \left| x+\frac{b}{2a} \right| = \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} $$Para remover o módulo, precisamos colocar o símbolo $\pm$ no membro da direita:
$$ x+\frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$O símbolo $\pm$ precede a raiz para garantir que estamos considerando as duas possibilidades do módulo.
Desta forma, quando temos $\sqrt{n\acute{u}mero}$, estamos realizando uma operação aritmética. Assim, o operador $\sqrt{\ \ \ }$ exige resultados apenas não negativos.
Exemplo: $\sqrt{25}=5$
Mas, quando temos $x^2 = n\acute{u}mero$, estamos resolvendo um problema algébrico. O símbolo $\pm$ aparece porque estamos buscando todos os valores que, quando elevados ao quadrado, resultem naquele número.
Se, $x^2=25$, então $|x|=\sqrt{25}$ e $x = \pm 5$.
Pegadinhas
Existem muitas pegadinhas que aparecem em "problemas em redes sociais" (apenas para gerar likes, diga-se de passagem, porque não explicam a maneira correta de resolver) que podem nos confundir por sua sutileza.
Calcular o valor de $\sqrt{(-5)^2}$
Se você cancelar o expoente $2$ com o índice da raiz, estará errando. Temos que obedecer a ordem das operações, resolvendo de "dentro para fora". Assim, resolvemos primeiro dentro da raiz:
$$ \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} $$E depois extraímos a raiz:
$$ \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 $$Resolver $x^2 = (-5)^2$
Tentar primeiro eliminar o expoente de $x$ aplicando a raiz em ambos os membros está errado. Primeiro devemos resolver o membro da direita:
$$ x^2 = 25 $$Agora sim podemos aplicar as raízes:
$$ \sqrt{x^2} = \sqrt{25} \\ \ \\ |x| = \sqrt{25} \\ \ \\ x = \pm 5 $$O $\pm$ não pertence à definição da raiz quadrada, mas sim à resolução de equações.
Calcular $\sqrt{x^2}$:
Um erro comum é colocar o símbolo de $\pm$ na solução:
$$ \sqrt{x^2} = \pm x $$A forma correta de representar é:
$$ \sqrt{x^2} = |x| $$Cancelar quadrado com raiz:
Se quisermos resolver $\sqrt{(x-3)^2}$, um erro típico é cancelar o quadrado com a raiz:
$$ \sqrt{(x-3)^2} = x-3 $$Se fizermos $x=1$, obtemos:
$$ \sqrt{(1-3)^2} = 1-3 \\ \ \\ \sqrt{(-2)^2} = -2 \\ \ \\ \sqrt{4} = -2 $$O que está obviamente errado. Sabemos que $\sqrt{4}=2$ e não $-2$. A forma correta de resolver é:
$$ \sqrt{(x-3)^2} = |x-3| \\ \ \\ \sqrt{(1-3)^2} = |1-3| \\ \ \\ \sqrt{(-2)^2} = |-2| \\ \ \\ \sqrt{4} = |-2| \\ \ \\ \sqrt{4} = 2 $$Elevando ambos os membros ao quadrado:
Vamos tentar resolver:
$$ \sqrt{x} = -2 $$Se elevarmos ambos os membros ao quadrado com a intenção de eliminar a raiz, obteremos erroneamente:
$$ x=4 $$O problema é justamente a definição de $\sqrt{x} \geq 0$. A equação original não tem solução.
Simplificando frações:
Vamos resolver:
$$ \frac{\sqrt{x^2}}{x} $$A ideia de cancelar o quadrado com a raiz, obtendo $x$ e depois dividir por $x$, obtendo $1$ é tentadora demais. Mas está errada:
$$ \frac{\sqrt{x^2}}{x} = \frac{x}{x}=1 $$O correto é:
$$ \frac{\sqrt{x^2}}{x} = \frac{|x|}{x} = \begin{cases} \ \ 1, \quad \text{se}\ x>0\\ \ \\ -1, \quad \text{se}\ x<0 \end{cases} $$Frase comum que deve ser abolida:
O correto é:
A raiz quadrada transforma um quadrado em valor absoluto.
Resumo
Quando estiver em dúvida, faça a pergunta: estou calculando um valor ou resolvendo uma equação?
Enquanto a raiz quadrada de um número é sempre positiva por definição, o uso de variáveis nos obriga a olhar para o módulo e para todas as possibilidades algébricas. Segue abaixo um resumo para entender melhor a hora de colocar (ou não) o sinal de "mais ou menos".
| Situação | Interpretação correta |
|---|---|
| $$\sqrt{x^2}$$ | $$\sqrt{x^2} = |x|$$ |
| $$\sqrt{(x-a)^2}$$ | $$\sqrt{(x-a)^2} = |x-a|$$ |
| $$\sqrt{x^2y^2}$$ | $$\sqrt{x^2y^2} = |xy| = |x|\ |y|$$ |
| $$\sqrt{4}$$ | $$\sqrt{4} = 2$$ |
| $$x^2=4$$ | $$x = \pm 2$$ |
| $$\sqrt{x} = -2$$ |
Sem solução real
|
Uso de $\pm$
|
Apenas em equações
|
Funções
|
Valor único
|
Elevar ao quadrado
|
Verificar soluções
|
Referências:
Este artigo foi inspirado no post da professora Ju Rezende que pode ser visto no Instagram no link abaixo:
https://www.instagram.com/reel/DSvVf4_EXqC/?igsh=YWpsdDlxeGtxeGM5
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