Em uma divisão de números complexos, por que devemos multiplicar o divisor e o dividendo pelo conjugado do divisor?

Nos livros didáticos de Ensino Médio, aprendemos que, em uma divisão de números complexos, devemos multiplicar o divisor e o dividendo pelo conjugado do divisor. Mas por que é feito dessa maneira?

 

Vamos recordar brevemente como fazemos a divisão de números complexos utilizando o conjugado.

 

Sejam dois números complexos $z_1=a+bi$ e $z_2=c+di$, sendo $z_2 \neq 0$. O quociente $z_1/z_2$ é obtido multiplicando ambos os termos pelo conjugado do divisor:

$$
\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1}{z_2}\cdot \frac{\overline{z_2}}{\overline{z_2}}\\
\ \\
\frac{z_1}{z_2} = \frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di}\\
\ \\
\frac{z_1}{z_2} = \frac{ac-adi+cbi-bdi^2}{c^2-cdi+cdi-d^2i^2}\\
\ \\
\frac{z_1}{z_2} =\frac{ac-adi+bci+bd}{c^2+d^2}\\
\ \\
\frac{z_1}{z_2} = \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}\\
\ \\
\frac{z_1}{z_2} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}\ i
$$

Esse processo é necessário porque a parte imaginária do denominador envolve uma raiz ($i$, que vale $\sqrt{-1}$), e em toda fração cujo denominador possui raiz devemos racionalizar para, assim, eliminarmos a parte imaginária do denominador. Vejamos:

 

Sejam dois números complexos $z_1=a+bi$ e $z_2=c+di$, sendo $z_2 \neq 0$.

$$
\frac{z_1}{z_2} = \frac{a+b\sqrt{-1}}{c+d\sqrt{-1}}
$$

Vejam que, quando substituímos $i$ por $\sqrt{-1}$, resulta em uma fração cujo denominador contém uma raiz. Para eliminá-la, devemos racionalizar o denominador e para isso, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:

$$
\frac{z_1}{z_2} = \frac{a+b\sqrt{-1}}{c+d\sqrt{-1}} \cdot \frac{c-d\sqrt{-1}}{c-d\sqrt{-1}}\\
\ \\
\frac{z_1}{z_2} = \frac{ac-ad\sqrt{-1}+bc\sqrt{-1}+bd\left(\sqrt{-1}\right)^2}{c^2-cd\sqrt{-1}+cd\sqrt{-1}+d^2}\\
\ \\
\frac{z_1}{z_2} = \frac{ac + bd-ad\sqrt{-1}+bc\sqrt{-1}}{c^2+d^2}\\
\ \\
\frac{z_1}{z_2} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{(bc-ad)\sqrt{-1}}{c^2+d^2}
$$

Como $\sqrt{-1}=i$, fazemos:

$$
\frac{z_1}{z_2} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\ i
$$

O resultado foi o mesmo obtido pelos dois métodos, o que conforta.

 

Links para este artigo:

• https://bit.ly/divisao-numeros-complexos
  
• https://www.obaricentrodamente.com/2021/08/em-uma-divisao-de-numeros-complexos-porque-devemos-multiplicar-o-divisor-e-o-dividendo-pelo-conjugado-do-divisor.html
  

 

Veja mais:

• Números complexos
  
• Demonstração da 1ª fórmula de De Moivre
  
• Demonstração da 2ª fórmula de De Moivre