Resolução da integral $\displaystyle \int \ln^2(x)dx$

Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?

Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.

Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica.

Nesta postagem, vamos demonstrar que:

$$\int \ln^2(x)\ dx = x\left( \ln^2(x) - 2\ln(x) +2 \right) + C$$

Seja a integral:

$$I = \int \ln^2(x)\ dx$$

Para o integrando $\ln^2(x)$, utilizaremos o método de integração por partes. Lembrando que:

$$\int u\ dv = u\ v - \int v\ du$$

Fazemos $u=\ln^2(x)$ e $dv=dx$, para obtermos $\displaystyle du=\frac{2\ln(x)}{x}dx$ e $v=x$. Assim:

$$I = x\ \ln^2(x) - \int x\ \frac{2\ln(x)}{x}\ dx\\ \ \\ I = x\ \ln^2(x) - 2\int \ln(x)\ dx$$

Para o integrando $\ln(x)$, aplicaremos novamente o método de integração por partes. Fazemos $u=\ln(x)$ e $dv=dx$, para obtermos $\displaystyle du=\frac{1}{x}dx$ e $v=x$. Assim:

$$I = x\ \ln^2(x) - 2 \left[ x\ \ln(x) - \int x\ \frac{1}{x}\ dx \right]\\ \ \\ I = x\ \ln^2(x) - 2x\ \ln(x) + 2\int dx\\ \ \\ I = x\ \ln^2(x) - 2x\ \ln(x) + 2x + C\\ \ \\ I = x\left( \ln^2(x) - 2\ln(x)+2\right) + C$$

Exemplo:

Vamos calcular a área sob a curva $f(x)=\ln^2(x)$ no intervalo de $x=1$ e $x=10$.

Para calcularmos a área sob uma curva, utilizamos o conceito de integral definida:

$$A = \int_1^{10} \ln^2(x)\ dx$$

Vamos utilizar o resultado obtido acima como ponto de partida para calcular a área desejada:

$$A = \Big[ x\left( \ln^2(x) - 2\ln(x)+2\right) \Big]_1^{10}\\ \ \\ A = \Big[ 10\left(\ln^2(10)-2\ln(10)+2\right) \Big] - \\ \Big[ \ln^2(1)-2\ln(1)+2\Big]\\ \ \\ A\approx 26,967 - 2\\ \ \\ A \approx 24,967\ u.a.$$

Assim, a área desejada vale aproximadamente 0,18832 unidades de área.

Links para este artigo:

• https://bit.ly/integral-ln2x
  
• https://www.obaricentrodamente.com/2021/08/resolicao-da-integral-de-ln2-x.html

Veja mais:

• Lista com integrais resolvidas
• Método de integração por substituição
  
• Método de integração por frações parciais
• Método de integração por partes
• Método tabular para resolver integrais por partes