01/08/2021

Resolução da integral $\displaystyle \int \ln^2(x)dx$

Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?

Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.

Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica.

Nesta postagem, vamos demonstrar que:
$$
\int \ln^2(x)\ dx = x\left( \ln^2(x) - 2\ln(x) +2 \right) + C
$$
resolucao-da-integral-de-ln^2-x-dx

Seja a integral:
$$
I = \int \ln^2(x)\ dx
$$
Para o integrando $\ln^2(x)$, utilizaremos o método de integração por partes. Lembrando que:
$$
\int u\ dv = u\ v - \int v\ du
$$
Fazemos $u=\ln^2(x)$ e $dv=dx$, para obtermos $\displaystyle du=\frac{2\ln(x)}{x}dx$ e $v=x$. Assim:
$$
I = x\ \ln^2(x) - \int x\ \frac{2\ln(x)}{x}\ dx\\
\ \\
I = x\ \ln^2(x) - 2\int \ln(x)\ dx
$$
Para o integrando $\ln(x)$, aplicaremos novamente o método de integração por partes. Fazemos $u=\ln(x)$ e $dv=dx$, para obtermos $\displaystyle du=\frac{1}{x}dx$ e $v=x$. Assim:
$$
I = x\ \ln^2(x) - 2 \left[ x\ \ln(x) - \int x\ \frac{1}{x}\ dx \right]\\
\ \\
I = x\ \ln^2(x) - 2x\ \ln(x) + 2\int dx\\
\ \\
I = x\ \ln^2(x) - 2x\ \ln(x) + 2x + C\\
\ \\
I = x\left( \ln^2(x) - 2\ln(x)+2\right) + C
$$

Exemplo:

Vamos calcular a área sob a curva $f(x)=\ln^2(x)$ no intervalo de $x=1$ e $x=10$.
resolucao da integral de ln^2 x no intervalo de  1 a 10

Para calcularmos a área sob uma curva, utilizamos o conceito de integral definida:
$$
A = \int_1^{10} \ln^2(x)\ dx
$$
Vamos utilizar o resultado obtido acima como ponto de partida para calcular a área desejada:
$$
A = \Big[ x\left( \ln^2(x) - 2\ln(x)+2\right) \Big]_1^{10}\\

\ \\
A = \Big[ 10\left(\ln^2(10)-2\ln(10)+2\right) \Big] - \\ \Big[ \ln^2(1)-2\ln(1)+2\Big]\\
\ \\
A\approx 26,967 - 2\\
\ \\
A \approx 24,967\ u.a.
$$
Assim, a área desejada vale aproximadamente 0,18832 unidades de área.

Links para este artigo:


Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Resolução da integral $\displaystyle \int \ln^2(x)dx$. Publicado por Kleber Kilhian em 01/08/2021. URL: . Leia os Termos de uso.


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2 comentários:

  1. Esse 'omi' é organizado demais nessas postagens que tem muito $\LaTeX$. Abraço, meu amigo!

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    Respostas
    1. Tento ser,meu amigo. E escrevo como se eu estivesse ensinado. Esse recurso da MathJax fica lindo no blog! Um abraço!

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