13/06/2010

Utilizando Tábuas de Logaritmos para Encontrar Aproximações de Raízes

Vimos no post anterior uma breve introdução de como utilizar tábuas de logaritmos para calcular logaritmos de números inteiros e decimais. Vamos agora encontrar aproximações de raízes utilizando tábuas de logaritmos.

Seja a raiz quadrada de 2. Vamos encontrar a solução para:

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Podemos escrever:

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Utilizando a propriedade dos expoentes dos logaritmos, fazemos:

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Agora, podemos consultar uma tábua de logaritmos e verificar a mantissa correspondente ao número N = 2, que é 30103. A característica de N = 2 é 0. Portanto, temos que:

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Substituímos o valor encontrado em (2) na equação (1):

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Aqui o problema é inverso: temos a mantissa igual a 150515 e queremos encontrar o número N. Se procurarmos na tábua de logaritmos pela mantissa 150515 não a encontraremos, mas sim valores aproximados. A mantissa 150515 está entre duas outras: 15045 e 15076, que correspondem respectivamente aos números 1414 e 1415. Isso nos mostrar que o número x que procuramos não é um número Natural. Vamos, então, encontrar a melhor aproximação possível para raiz de 2.

Temos que a característica de 0,150515 é 1, por ser um número decimal e ter apenas 1 zero antes do primeiro algarismo significativo. Se tomarmos a mantissa 1414 como base de cálculos, teremos que:

x = 1,414

que é aproximadamente a raiz quadrada de 2:

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Que é uma aproximação razoável para cálculos corriqueiros.

Vamos, agora, encontrar a raiz cúbica de 9261.

Temos que:

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Consultando uma tábua de logaritmos, verificamos que a mantissa correspondente ao número 9261 é 96666.

A característica do número 9261 é 3. Logo temos:

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Substituímos (4) em (3), obtemos:

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Temos novamente o problema inverso: temos a mantissa igual a 3222 e queremos encontrar o número N correspondente. Procurando na tábua de logaritmos pela mantissa 3222, encontramos o número N = 21, que é exatamente a raiz cúbica de 9261.

Vejam que o processo se torna mecânico após alguns exercícios e podemos expandir para equações mais complexas.


Veja mais:

Utilizando Tábuas para Calcular Logaritmos
Utilizando Tábuas de Logaritmos para Encontrar Aproximações de Expressões mais Complexas

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