13/06/2010

Utilizando Tábuas de Logaritmos para Encontrar Aproximações de Raízes

Vimos no post anterior uma breve introdução de como utilizar tábuas de logaritmos para calcular logaritmos de números inteiros e decimais. Vamos agora encontrar aproximações de raízes utilizando tábuas de logaritmos.

Seja a raiz quadrada de 2. Vamos encontrar a solução para:

clip_image002

Podemos escrever:

clip_image004

clip_image006

Utilizando a propriedade dos expoentes dos logaritmos, fazemos:

clip_image008

Agora, podemos consultar uma tábua de logaritmos e verificar a mantissa correspondente ao número N = 2, que é 30103. A característica de N = 2 é 0. Portanto, temos que:

clip_image010

Substituímos o valor encontrado em (2) na equação (1):

clip_image012

clip_image014

Aqui o problema é inverso: temos a mantissa igual a 150515 e queremos encontrar o número N. Se procurarmos na tábua de logaritmos pela mantissa 150515 não a encontraremos, mas sim valores aproximados. A mantissa 150515 está entre duas outras: 15045 e 15076, que correspondem respectivamente aos números 1414 e 1415. Isso nos mostrar que o número x que procuramos não é um número Natural. Vamos, então, encontrar a melhor aproximação possível para raiz de 2.

Temos que a característica de 0,150515 é 1, por ser um número decimal e ter apenas 1 zero antes do primeiro algarismo significativo. Se tomarmos a mantissa 1414 como base de cálculos, teremos que:

x = 1,414

que é aproximadamente a raiz quadrada de 2:

clip_image016

Que é uma aproximação razoável para cálculos corriqueiros.

Vamos, agora, encontrar a raiz cúbica de 9261.

Temos que:

clip_image018

clip_image020

clip_image022

clip_image024

Consultando uma tábua de logaritmos, verificamos que a mantissa correspondente ao número 9261 é 96666.

A característica do número 9261 é 3. Logo temos:

clip_image026

Substituímos (4) em (3), obtemos:

clip_image028

clip_image030

Temos novamente o problema inverso: temos a mantissa igual a 3222 e queremos encontrar o número N correspondente. Procurando na tábua de logaritmos pela mantissa 3222, encontramos o número N = 21, que é exatamente a raiz cúbica de 9261.

Vejam que o processo se torna mecânico após alguns exercícios e podemos expandir para equações mais complexas.


Veja mais:

Utilizando Tábuas para Calcular Logaritmos
Utilizando Tábuas de Logaritmos para Encontrar Aproximações de Expressões mais Complexas

Siga também o blog pelo canal no Telegram.

Compartilhe esse artigo:



Achou algum link quebrado? Por favor, entre em contato para reportar o erro.
Leia a política de moderação do blog. Para escrever em $\LaTeX$ nos comentários, saiba mais em latex.obaricentrodamente.com.

Postar um comentário

Whatsapp Button works on Mobile Device only

Pesquise no blog