05/03/2011

Construção Geométrica de Tangentes com Régua e Compasso (Parte I)

Construções geométricas é um ramo da Matemática muito importante para o desenvolvimento do raciocínio lógico-dedutivo e possui muitas aplicações em desenhos técnicos e mecânicos de máquinas, por exemplo.

Já fiz algumas construções de polígonos utilizando régua e compasso, mas neste post vamos nos concentrar em um problema clássico que é o de traças tangentes a algumas curvas. Fiz uma divisão deste estudo e nesta primeira parte vamos simplesmente nos abster ao traçado propriamente dito das tangentes à circunferências. Além disso, usaremos os teoremas da Geometria plana para justificar as construções.

1) Traçar uma tangente por um ponto dado sobre a circunferência.

Sejam λ uma circunferência de centro O e P pertencente a λ:

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[Figura 1]

Prolongando o raio OP e com centro em P e abertura do compasso menor que o raio OP, determinemos os pontos A e B:

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[Figura 2]

Determinemos, agora, a mediatriz entre os pontos A e B encontrando o ponto Q. A reta que passa por P e Q é a reta tangente pedida:

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[Figura 3]

Justificativa: A tangente traçada pelo ponto P é uma reta perpendicular ao raio OP. Sendo r a mediatriz de AB, segue o resultado obtido.

2) De um ponto dado fora de uma circunferência, traçar tangentes a esta circunferência.

Sejam λ uma circunferência de centro O e raio qualquer e P um ponto não pertencente à λ:

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[Figura 4]

Unindo O e P e tomando a mediatriz de OP, que passa pelos pontos A e B, determinamos C na intersecção com OP:

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[Figura 5]

Com centro em C e raio OC, traçamos a circunferência κ que intercepta λ nos pontos D e E:

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[Figura 6]

As retas que passam por PD e PE são as tangentes pedidas.

Justificativa: As retas tangentes a uma circunferência traçadas de um ponto externo possuem a propriedade de serem perpendiculares ao raio pelos pontos de tangência. Por construção OP é o diâmetro da circunferência κ e o triângulo ODP é retângulo em D, pois está inscrito na semicircunferência OAP.

Outra propriedade é que os segmentos das tangentes a uma circunferência conduzidas por um mesmo ponto são congruentes:

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3) Traçar as tangentes comuns, exteriores, a duas circunferências.

Sejam duas circunferências λ1 e λ2 de centros O1 e O2, cujos raios r1 e r2 são tais que r1 + r2 < d (O1, O2), ou seja, as circunferências são disjuntas. Suponha também que r1 < r2:

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[Figura 7]

Ligando os centros O1 e O2, determinamos a mediatriz que intercepta O1O2 em C.

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[Figura 8]

Descrevemos a circunferência λ3 de centro O1 e raio r3 = r1r2:

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[Figura 9]

Observação: Para determinarmos o raio r3, com abertura do compasso igual ao raio de λ1 , descrevemos uma circunferência de raio PQ com centro em P. Em seguida, com abertura do compasso igual ao raio de λ2, descrevemos outra circunferência de raio QR centrada em Q. A distância PR é o raio da circunferência λ3:

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[Figura 10]

Com centro em C e raio O1C descrevemos uma circunferência que intercepta λ3 nos pontos A e B:

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[Figura 11]

Unimos os pontos O2 e A e os pontos O2 e B. Observe que O2A e O2B são tangentes externas a λ3 traçadas de O2. Prolongamos O1A até o ponto D pertencente a λ1 e também O2B até o ponto E pertencente a λ1. Traçamos em seguida por D um segmento paralelo a AO2 que intercepta λ2 no ponto F. Analogamente EG é paralelo a BO2.

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[Figura 12]

Agradecimentos: Agradeço ao Professor Paulo do Blog Fatos Matemáticos pela disponibilização deste material.


Veja mais:

Reta Tangente a uma Curva
Ângulo entre Circunferência e Circunferências Ortogonais
Alguns Fatos da Tangente de x no blog Fatos Matemáticos

10 comentários:

  1. Nossa o post ficou muito melhor do que eu imaginava. O seu blog está enriquecendo cada vez mais com construções geométricas. Parabéns e obrigado pelo link.

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  2. Eu que agradeço peço material. Encontrei um caderno de desenho geométrico com várias construções, inclusive alguns traçados de tangentes. Vou fazer uma Parte II com outros traçados. Quero fazer também um ou mais posts sobre o arco capaz.

    Um abraço Paulo!

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  3. Kleber,

    O que acontece com o banner é que o "imageshack", site que hospeda imagens está bloqueando algumas imagens para não cadastrados, o que torna impossível a visualização.

    O seu banner que estava no meu blog está hospedado no Imageshack, assim como o do Paulo do blog "Fatos Matemáticos".

    Com o novo link que você me disponibilizou, irei atualizar!

    Desculpe pelo inconveniente,
    Abraços.

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  4. Olá, Kleber!
    Muita gente que, mesmo dominando os conteúdos da matemática, no que tange ao estudo da geometria, tem no traçado das suas construções, um momento de terror! Tive colegas de estudo, que até hoje ainda dizem terem trauma com o desenho geométrico e dizem, não entender porque pessoas como eu e outros, que não teen o menor medo dele! Aí eu respondo: " é porque seguimos as instruções para o traçado do desenho e não descuidamos do rigor das medidas empregadas ali"! Simplesmente, é só isso!
    Seus posts sãos ótimos e esse aqui, ficou "fenomenal"! Parabéns!
    Um abraço!!!!!

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  5. Olá Valdir! Agradeço seus elogios.
    Acho que foi uma tragédia terem abolido o desenho geométrico das escolas. É um estudo muito importante que hoje é ignorado por muita gente. Eu tive desenho geométrico no "ginásio" durante dois anos. Mas veja que engraçado: na minha graduação não tive em nenhum semestre! Um completo absurdo!!

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  6. Postagem realmente MUITO útil.
    Gostaria de saber como construir tangentes internas usando régua e compasso.

    Muito obrigado,
    Parabéns pelo Blog!

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  7. Olá amigo,obrigado pelo elogio.
    Acho que não entendi (ou não sei) o que está querendo. Reta tangente interna a uma circunferência??

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  8. muito bom mesmo valeu post muito bom obrigado continue assim !

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  9. Muito legal, acho que agora tiro dez em desenho técnico.

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  10. Kleber Kilhian, excelente site! Tem uma maneira muito interessante e absurdamente simples de achar uma tangente de um ponto P sobre uma circunferência A.

    1) fazer uma circunferência B com o centro sobre um ponto qualquer da circunferência A cujo o raio seja a distância até o ponto P.

    2) fazer uma circunferência C com o centro sobre o ponto P com raio até a outra interseção de A e B.

    3) A Reta tangente será a reta que cruza os pontos P e a interseção entre as circunferências BC.

    Essa é a solução de um desafios do game Euclidea. Tem no Google Play. É muito bom, recomendo!

    Abraço!

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