23/09/2011

Área da Superfície Esférica a Partir de seu Volume

Para esta demonstração iremos utilizar apenas conceitos básicos de Geometria Podemos decompor a esfera em uma infinidade de pirâmides cujas bases compõem a superfície esférica e os vértices se encontram no centro da esfera.

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Desta forma, a superfície da esfera fica dividida em N polígonos e a área da superfície esférica ASE é dada por:

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Para o Volume da esfera, podemos dizer que é igual à soma dos volumes dessas N por:

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Sabemos que o volume de uma pirâmide é dado pela fórmula:

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No caso destas pirâmides que compõem a esfera, suas alturas são exatamente o raio R da esfera. Assim, a relação (3) fica:

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e o volume da esfera será a soma dos volumes destas pirâmides:

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Vejam que a soma das áreas da relação (5) é igual à superfície esférica dada na relação (1). Assim, temos que:

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Partindo do princípio em que já sabemos como calcular o volume da esfera:

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podemos determinar a superfície esférica substituindo a relação (7) em (6), obtendo:

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Vejam que aqui só utilizamos conceitos básicos de Geometria, levando em conta que já sabíamos previamente a fórmula do volume da esfera.


Veja mais:

Demonstração da Fórmula da Área da Esfera
Demonstração Fórmula do Volume da Esfera
Sobre a Esfera e o Cilindro
O Princípio de Cavalieri

8 comentários:

  1. Interessante este método. Eu não sei se estudei em cálculo, na faculdade de engenharia, já faz tempo, mas me lembro de que decorei esta área porque ela é igual à derivada da fórmula do volume, ou seja dV/dR. De fato dá certo. Então, neste caso, quando derivamos, de certa forma "perdemos" uma dimensão? Volume (3D) "vira" área (2D)?

    Ou estou "viajando"?

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  2. Olá Jairo,

    Creio que o fato de derivarmos o volume da esfera e encontrarmos sua área seja pura conincidência. Para outros sólidos isso não ocorre.

    Não está viajando não, veja só:
    $f(x)=x^3-x^2+x-5$
    A derivada será:
    $f\prime (x)=3x^2-2x+1$
    Para o polinômio, realmente "perdemos" uma dimensão.

    Aplicando essa idéia na esfera, se derivarmos a área da esfera, encontramos $8\pi R$, caímos numa reta:

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=8+pi+R

    Mas qual a relação com a esfera? Não sei.

    Veja esse artigo sobre a área da esfera:

    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/12/demonstracao-formula-da-area-da-esfera.html

    E este para o volume da esfera:

    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/06/demonstracao-formula-volume-de-esfera.html

    Um abraço.

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  3. Temos neste caso a noção intuitiva de limite sendo aplicada. Quando n tende a infinito, a decomposição da esfera em polígonos fica cada vez mais parecida com a superfície esférica, e os polígonos (base das piramides) ficam cada vez menos "visíveis", chegando NO LIMITE à superfície esférica "lisa".
    Eu conheci o volume da esfera nas integrais triplas com coordenadas esféricas, e a superfície também como a sua derivada.
    Muito bom o post! É uma alternativa, vale a pena explorá-la na escola também. ABRAÇOS
    BRUNO COLLARES

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  4. Olá Bruno,
    Eu pensei muito antes de publicar este artigo, pois queria algo o mais simples possível, de modo que os estudantes do ensino médio pudessem entender numa boa, sem usar as idéias de limites ou cálculo diferencial e integral. Para um estudo infinitesimal já tinha um artigo publicado tanto para o volome como para a área. Confira nos links:

    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/12/demonstracao-formula-da-area-da-esfera.html

    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/06/demonstracao-formula-volume-de-esfera.html

    Um abraço.

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  5. Fórmula muito útil no uso da lei de Gauss... Sybstitui-se diretamente na fórmula da integral...

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  6. vamos formar uma parceria estou te seguindo e coloquei seu banner em http://ensinodematemtica.blogspot.com

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  7. Alguém pode me explica com detalhes o que significa a palavra calota ?e urgente por favor!!!

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    Respostas
    1. Veja definição neste link: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/09/volume-de-uma-calota-esferica.html?m=1

      Excluir

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$$a^2+b^2=c^2$$
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