19 de ago de 2012

A História do Número Zero

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Pensar no zero como representando o $nada$ está errado. O fato é que o zero está na base de dois, ou três, importantes avanços da matemática. A história remonta um tempo antes de $1600 a.C.$, no berço da civilização: a Mesopotâmia. Nessa época, os babilônios tinham desenvolvido um sistema posicional para escreverem números, baseado no agrupamento de $60$, de onde heranças desse sistema é a marcação do tempo em minutos e segundos. Era chamada escrita cuneiforme, pois os símbolos usados tinham a forma de cunha, onde os dois símbolos básicos eram:
imageAssim, os símbolos eram repetidos e agrupados para representarem qualquer número de contagem de $1$ a $59$. Por exemplo, para representar o número $72$, faziam:
imagecom um pequeno espaço separando a posição do $60^\prime s$ da posição dos $1^\prime s$. Fazer um estudo sobre a numeração babilônia não é o intuito deste artigo, portanto, para mais detalhes sugiro procurar outra fonte de pesquisa.

Mas havia um problema com esse sistema. O número $3.612$ era escrito:
imageque equivale a dizer: $3.600 = 60^2$ e $12$ uns, com um pequeno espaço extra para mostrar que o lugar dos $60^\prime s$ estava vazio. Como essas marcas eram feitas rapidamente apertando um instrumento em forma de cunha em tábuas de barro macio, o espaçamento não era sempre consistente. Saber o valor real muitas vezes dependia entender o contexto do que se estava sendo descrito. Em algum momento entre $700$ e $300 a.C.$, os babilônios começaram a usar seu símbolo para indicar fim de sentença (usaremos um ponto) para mostrar que um lugar estava sendo saltado, de modo que $72$ e $3.612$ se tornaram respectivamente:
imageAssim, o zero começou sua vida como "ocupante de lugar", um símbolo para indicar um espaço vazio, ou que algo foi saltado.

O crédito para o desenvolvimento do sistema de valor de posição decimal que usamos hoje pertence aos hindus, em algum momento antes de $600 d.C.$. Eles usavam um pequeno círculo como símbolo de ocupante de lugar. Os árabes aprenderam esse sistema no século $IX$ e sua influência gradualmente se espalhou pela Europa nos dois ou três séculos seguintes. Os símbolos para cada dígito mudaram um pouco, mas os princípios permaneceram os mesmo (os árabes usaram o símbolo círculo para representar quantidade, $sunya$, tornou-se no árabe $sifr$, depois no latim $zephirum$ (junto com a palavra ligeiramente latinizada $cifra$), e essas palavras, por sua vez, evoluíram para as palavras $zero$ e $cifra$ em português, Hoje em dia, o zero, usualmente como um círculo ou um oval, ainda indica que alguma potência de dez não está sendo usada.

No século $IX d.C.$, os hindus tinham dado um salto conceitual que é um dos mais importantes eventos matemáticos de todos os tempos. Estavam começando a reconhecer o $sunya$ (a ausência de quantidade) como uma quantidade de direito próprio. Tinham começado a trazer o zero como um número.

O matemático Mahāvīra $(c. 850)$ escreveu que um número multiplicado por zero resulta em zero, e que o zero subtraído de qualquer número não altera o número. Também afirmava que um número dividido por zero fica inalterado. Isso mostra que o conceito de operações inversas ainda não estava era dominado. Bhāskara $(c. 1100)$ afirmava que um número dividido por zero resulta uma quantidade infinita.

O mais importante destas ocorrências não é qual dos matemáticos da Índia teve as respostas certas quando calculando com o zero, mas o fato de eles colocarem tais questões em primeiro lugar. Para calcular com o zero é preciso primeiro reconhecê-lo como "alguma coisa", uma abstração como qualquer outro número, ou seja, é preciso passar a contar uma cabra, ou duas vacas, ou três carneiros, ou pensar em $1, 2, 3$ por eles mesmos, como coisas que podem ser manipuladas sem pensar me quais espécies de objetos estão sendo contados. Temos que pensar em $1, 2, 3,\cdots$ como ideias que existem, mesmo que não estejam contando nada. Então, e só então, faz sentido tratar o zero com um número. Os gregos antigos nunca deram esse passo extra em abstração matemática; isso estava fundamentalmente em oposição a sua ideia de que um número era uma propriedade quantitativa de $coisas$.

O reconhecimento pelos hindus do zero como um número foi uma chave para destrancar a porta da álgebra. O zero, como símbolo e conceito, encontrou seu caminho para o Ocidente, principalmente pelos escritos do estudioso árabe do século $IX$, Muhammad Ibn Al-Kowārizmī. Ele escreveu dois livros, um de aritmética e outro sobre resoluções de equações, que foram traduzidos para o latim no século $XII$ e circularam pela Europa.

Para Al-Kowārizmī, o zero ainda não era pensado como um número, mas apenas um ocupante de lugar, descrevendo um sistema de numeração usando nove símbolos significando de $1$ a $9$. Em uma das traduções latinas, o papel do zero é descrito assim: 

Mas quando o dez foi posto no lugar de um, e foi feito na segunda posição, e sua forma era de um, eles precisavam de uma forma para o dez devido ao fato de que era semelhante ao um, podendo assim, saber por meio dela, saber que era dez. Assim, puseram um espaço em frente a ele e puseram um pequeno círculo como a letra o, para que dessa maneira eles pudessem saber que o lugar das unidades estava vazio e que nenhum número estava ali, exceto o pequeno círculo...

As traduções latinas frequentemente começavam com as palavras $Dixit$ $Algorizmi$, significando "Al-Kowārizmī disse". Muitos europeus aprenderam o sistema posicional decimal e o papel essencial do zero por meio dessas traduções. A popularidade desse livro como texto de aritmética gradualmente fez com que seu título fosse identificado com seus métodos, dando-nos a palavra "algoritmo".

Conforme o novo sistema se difundia e as pessoas aprendiam a calcular com os novos números, tornou-se necessário explicar como somar e multiplicar quando um dos dígitos era zero. Isso ajudou a fazê-lo parecer mais semelhante a um número. No entanto, a ideia dos hindus de que se deveria tratar o zero como um número de direito próprio levou muito tempo para se estabelecer na Europa. Mesmo alguns dos matemáticos mais proeminentes dos séculos $XVI$ e $XVII$ não queriam aceitar o zero como raiz (solução) de equações.

Contudo, dois desses matemáticos usaram o zero de um modo que transformou a teoria das equações. No começo do século $XVII$, Thomas Harriot $(1560 – 1621)$, que era também um geógrafo e o primeiro medidor de terras da colônia Virgínia, propôs uma técnica simples e poderosa para resolver equações algébricas: 

Passe todos os termos da equação para um lado do sinal de igualdade, de modo que a equação torne a forma:
\begin{equation*}
[\text{polinômio}] = 0
\end{equation*}
Esse procedimento, que Tobias Dantzig em seu livro $Number:$ $The$ $Language$ $of$ $Science$ de $1967$ chama de Princípio de Harriot, foi popularizado por Descartes em seu livro sobre geometria analítica e às vezes atribuído a ele. É uma parte tão comum da álgebra elementar hoje que o tomamos como certo, mas que realmente foi um passo revolucionário à frente de seu tempo.

Vejamos um exemplo: Para encontrar um número x para o qual $x^2 + 2 = 3x$ seja verdadeiro (uma raiz da equação), podemos reescrever como:
\begin{equation*}
x^2-3x+2=0
\end{equation*}
O lado esquerdo pode ser fatorado como $(x – 1)(x – 2)$. Agora, para que o produto de dois números seja igual a zero, é preciso que ao menos um deles seja zero (esta é uma outra propriedade especial do zero que o torna único entre os números). Portanto, as raízes podem ser encontradas resolvendo-se em duas equações muito simples:
\begin{equation}
x-1=0
\end{equation}
e
\begin{equation}
x-2=0
\end{equation}
Isto é, as duas raízes da equação original são $1$ e $2$.

Este é um exemplo simples para ilustração, mas muito já era conhecido sobre fatoração de polinômios, mesmo na época de Harriot, de modo que esse princípio foi um grande avanço na teoria das equações.

Quando ligado com a geometria de coordenadas de Descartes, o princípio de Harriot se torna ainda mais poderoso. Usando a terminologia moderna, para resolver qualquer equação com uma variável numérica real $x$, podemos reescrevê-la como $f(x) = 0$, onde $f(x)$ é alguma função em $x$. Traçando o gráfico de $f(x)$, as raízes (soluções) da equação original ocorrem quando esse gráfico cruza o eixo dos $x$. Assim, mesmo que a equação não possa ser resolvida exatamente, um bom gráfico fornecerá uma boa aproximação de suas soluções.
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Por volta de $XVIII$, o $status$ do zero tinha crescido de ocupante de lugar para ferramenta algébrica. Conforme os matemáticos do século $XIX$ foram generalizando a estrutura dos sistemas numéricos para formar os anéis e os corpos da álgebra moderna o zero se tornou o protótipo de um elemento especial. O fato de que zero mais um número deixa aquele número inalterado, se tornou a propriedade que define o elemento "identidade da soma" de sistemas abstratos, em geral chamado simplesmente de $zero$ do anel ou corpo; e o fato que um número vezes zero resulta em zero, é a força dominante do Princípio de Harriot, onde se o produto de números for zero, então um deles deve ser zero. Isso caracterizou um tipo particularmente importante de sistema chamado de $domínio$ $de$ $integridade$.

Referências:

[1] A Matemática através dos Tempos – Willian P. Berlinghoff e Fernando Gouvês – Editora Blucher

Veja mais:

A História do Símbolo do Infinito
Panorama da História do Cálculo
Alguma Etimologia
Zero: O Número que Tentaram Proibir no blog Infravermelho


12 de ago de 2012

O Algoritmo de Euclides para Determinação do MDC

O algoritmo de Euclides é um dos algoritmos mais antigos conhecidos e o método destaca-se por ser simples e eficiente para a determinação do MDC entre números inteiros diferentes de zero.

O método aparece pela primeira vez no Livro VII de sua obra Os Elementos, cerca de 300 a. C. e tem sua origem geométrica, como a determinação da maior medida comum entre dois segmentos de reta.

Proposição II do Livro VII: Sendo dados dois números não primos entre si, achar a maior medida comum deles.

Esta proposição nos diz que dados os segmentos AB e CD representando dois números não primos entre si e diferentes de zero, existe um terceiro segmento EF que cabe um número inteiro de vezes nos primeiros dois segmentos, ou seja, o segmento EF mensura os segmentos AB e CDimagePara uma demonstração mais moderna, vamos considerar o lema abaixo:

Lema 1: Sejam a, b e m inteiros. Temos que mdc(a, 0) = |a| e que mdc(a, b) = mdc(b, a) = mdc(|a|, |b|) = mdc(a – mb, b).

Para calcular o mdc(a, b), tendo em vista o lema acima, vamos supor que a e b são não negativos. Se b = 0 ou a = b, então mdc(a,b) = a e nada temos que calcular. Vamos supor que a ≠ b, como mdc(a, b) = mdc(b, a), podemos supor que a > b > 0.

Pela divisão euclidiana, temos que:

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Da igualdade acima e pelo Lema 1, temos que:

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Desta forma, podemos ter duas situações:

a1) r2 = 0: neste caso, temos mdc(a, b) = mdc(b, r2) = mdc(b, r2) = b;

b1) r2 ≠ 0: neste caso, efetuamos a divisão euclidiana de b por r, obtendo:

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Segue que:

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Novamente, duas novas situações podem ocorrer:

a2) r3 = 0: neste caso, (a, b) = (r2, 0) = r2;

b2) r3 ≠ 0: neste caso, efetuamos a divisão euclidiana de r2 por r3, obtendo:

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Segue que:

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e assim sucessivamente.

Definido r1 = b, existe um valor n tal que rn + 1 = 0 e rn ≠ 0. De fato, se tivéssemos para todo n ≠ o, teríamos uma sequência infinita r1, r2, r3, ... tal que:

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Segue que:

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Portanto, o último resto não nulo rn deste processo, fornece o valor de mdc(a, b).

Calculamos o mdc(a, b) através do dispositivo prático que decorre do processo acima, que chamamos de Algoritmo de Euclides.

imageExemplo 1: Calcular o mdc(330, 240). Neste caso, a = 330 e b = 240.

imageDividimos a por b:

imageAssim, temos que q1 = 1 e r1 = 90. Inserimos estes valores na grade:

imageAgora, dividimos 240 por 90:

imageAssim, temos que q2 = 2 e r2 = 60. Inserimos estes valores na grade:

imageAgora, dividimos 90 por 60:

imageAssim, temos que q3 = 1 e r3 = 30. Inserimos estes valores na grade:

imageAgora, dividimos 60 por 30:

imageAssim, temos que q4 = 2 e r4 = 0. Inserimos estes valores na grade:

imageComo obtivemos um resto igual a zero, o mdc procurado é o último rn não nulo:

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Exemplo 2: Calcular o mdc(484,1521). Neste caso, fazemos a = 1521 e b = 484.

imageDividimos a por b:

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Assim, temos que q1 = 3 e r1 = 69. Inserimos estes valores na grade:

imageAgora, dividimos 484 por 69:

imageAssim, temos que q2 = 7 e r2 = 1. Inserimos estes valores na grade:

imageAgora, dividimos 69 por 1:

imageAssim, temos que q3 = 69 e r3 = 0. Inserimos estes valores na grade:

imageComo obtivemos um resto igual a zero, o mdc procurado é o último rn não nulo:

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Exemplo 3: Calcular o mdc(4074, 582). Neste caso, a = 4086 e b = 582.

image Dividimos a por b:

imageAssim, temos que q1 = 7 e r1 = 12. Inserimos estes valores na grade:

imageAgora, dividimos 582 por 12:

imageAssim, temos que q2 = 48 e r2 = 6. Inserimos estes valores na grade:

imageAgora, dividimos 12 por 6:

imageAssim, temos que q3 = 2 e r3 = 0. Inserimos estes valores na grade:

imageComo obtivemos um resto igual a zero, o mdc procurado é o último rn não nulo:

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Referências:

[1] Curso de Álgebra V1 – Abramo Hefez – IMPA
[2] Os Elementos de Euclides – Tradução e Irineu Bicudo


Veja mais:

Um Método para Calcular o MMC e o MDC Entre Dois Números
A Demonstração de Euclides Sobre a Existência de Infinitos Números Primos
Teorema de Pitágoras, Segundo Euclides – A Proposição I-47
O Algoritmo de Euclides e a Representação Binomial do mdc(a, b) no blog Elementos de Teixeira

5 de ago de 2012

Valor Absoluto e a Desigualdade Triangular

Na reta real, podemos representar geometricamente um número real como um ponto. Convencionando que a reta é crescente da esquerda para a direita, podemos representar dois números arbitrários quaisquer:

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Temos representado os números a e b tal que a < b. Isso quer dizer que o número a está posicionado à esquerda de b; equivalentemente, b > a e significa que b está à direita de a. Um número a é positivo se a > 0 ou negativo se a < 0.

Algumas regras utilizadas no trabalho com desigualdades são:

1) Se a > 0 e b < c, então ab < ac;

2) Se a < 0 e b < c, então ab > ac;

3) Se a < b, então a + c < b + c para qualquer c.

Para um número a que é positivo ou igual a zero, escrevemos a ≥ 0 e para um número a que é negativo ou igual a zero, escrevemos a ≤ 0. Assim, podemos escrever que ab ou b ≤ a.

O valor absoluto ou módulo de um número a é denotado por |a| e podemos defini-lo como:

Definição: Se a é um número real, então o valor absoluto de a é definido por:

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Por exemplo, |7| = 7 porque 7 ≥ 0; |0| = 0 porque 0 ≥ 0 e |–3| = –(–3) = 3 porque –3 < 0.

Observamos que o valor absoluto de um número real é sempre não-negativo. Geometricamente, o valor absoluto de um número real a é a distância entre um ponto A e a origem O, não importando se está à direita ou à esquerda de O. Se A e B são dois pontos genéricos na reta real, cujas coordenadas são a e b respectivamente, então a distância entre os pontos A e B é dada por |a – b|. Por exemplo, a distância entre os pontos A = –2 e B = 5 é dada por:

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Genericamente, –|x| ≤ x ≤ |x| é verdadeiro para qualquer número real x.

Se x ≥ 0, então |x| = x, assim x ≤ 0 é verdadeiro. Da mesma forma, se x ≥ 0, então –|x| = –x ≤ 0 ≤ x, assim –|x| ≤ 0 é verdadeiro. Logo, –|x| ≤ x ≤ |x| é verdadeiro se x ≥ 0.

Por outro lado, se x < 0, então |x| = –x, assim –|x| = x < 0 < –x = |x|. Portanto, –|x| ≤ x ≤ |x| é verdadeiro se x < 0.

Uma das mais importantes propriedades do valor absoluto é a desigualdade triangular.

Teorema: Se a e b são números reais, então |a + b| ≤ |a| + |b|.

Da generalização anterior, temos que –|a| ≤ a ≤ |a| assim como –|b| ≤ b ≤ |b|. Se somarmos membro a membro, obtemos:

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Se a + b ≥ 0, então |a + b| = a + b ≤ (|a| + |b|). Se a + b < 0, então |a + b| = –(a + b) ≤ (|a| + |b|). Em ambos os casos |a + b| ≤ |a| + |b|.

A desigualdade triangular nos números reais é uma analogia ao caso da geometria plana onde diz que a medida de qualquer um dos lados de um triângulo é menor que a soma dos outros dois.

Exemplo: Mostrar usando a desigualdade triangular que |a – b| ≤ |a| + |b| para quaisquer números reais a e b.

Utilizando a desigualdade triangular e o fato que –|b| = |b|, temos:

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Algumas outras propriedades do valor absoluto.

Sejam x e y números reais:

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Referências

[1] Cálculo V1 – Munem–Foulis, Editora Guanabara Dois
[2] Cálculo com Geometria Analítica V1 – Simmons, Editora McGraw Hill


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