01/08/2012

Método De Resolução Das Equações de Sebá (Parte 2 de 3)

Por: Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá)

Este artigo foi enviado pelo professor Sebá envolvendo a resolução de equações dos tipos:

clip_image002

Estas equações foram batizadas como Equações de Sebá, que elaborou dois teoremas e os batizou-os como Teoremas de Sebá. A primeira parte pode ser lida aqui.

A seguir, veremos a demonstração e exemplos para o segundo teorema; em seguida, veremos uma generalização para o teorema. No terceiro artigo da série, veremos algumas aplicações no mercado financeiro.

Teorema de Sebá 2: A equação An + Bn + Cn = Dm admite soluções naturais para m e n primos entre si.

Demonstração

Seja a equação:

clip_image002[4]

sendo a, b, c, d, n e m inteiros positivos. Multiplicando ambos os membros da equação (1) por:

clip_image002[6]

obtém-se:

clip_image002[8]

Substituindo o valor de da (1) em (2), obtém-se:

clip_image002[10]

ou

clip_image002[12]

clip_image002[14]

Se escolhermos valores para a, b e c,e substituirmos na (3), obtém-se valores inteiros positivos para A, B, C e D.

Método de Resolução da Equação de Sebá do Tipo An + Bn + Cn = Dm

Exemplo 1: Seja encontrar pelo menos duas soluções em inteiros positivos para a equação:

clip_image002[16]

Considere a equação:

clip_image002[18]

Multiplicando ambos os membros da equação acima por:

clip_image002[20]

temos:

clip_image002[22]

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clip_image002[26]

clip_image002[28]

clip_image002[30]

Comparando a equação (5) com a equação (4), devemos decompor m em potências de 3 e m + 1 em potências de 2. Isso só será possível se m e m + 1 forem, respectivamente, múltiplos de 3 e 2. Logo:

clip_image002[32]

Assim, a equação (5) fica:

clip_image002[34]

clip_image002[36]

clip_image002[42]

clip_image002[44]

Logo, as soluções da equação dada são obtidas fazendo:

clip_image002[46]

clip_image002[48]

clip_image002[50]

clip_image002[52]

clip_image002[54]

Por exemplo, se a = 1, b = 1 e c = 2, temos que:

clip_image002[56]

clip_image002[58]

clip_image002[60]

clip_image002[62]

Verificação:

clip_image002[64]

clip_image002[66]

clip_image002[68]

clip_image002[70]

clip_image002[72]

clip_image002[74]

clip_image002[76]

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Vejamos algumas ternas geradas a partir da Equação de Sebá:

imageObservem que, se k = 1, os valores de D2 aumentam muito quando variamos os valores de a,b e c; e que aumentam vertiginosamente quando k = 2.

Equação de Sebá Estendida

A equação A1n + A2n + A3n + Akn + = Bm admite soluções naturais para m e n primos entre si.

Demonstração:

Seja a equação:

clip_image002[80]

sendo A, B, k, m e n inteiros positivos. Multiplicamos ambos membros da equação (6) por:

clip_image002[82]

Obtém-se:

clip_image002[84]

Substituindo o valor de Bm da equação (6) em (7), obtém-se:

clip_image002[86]

ou

clip_image002[88]

clip_image002[90]

Exemplo 2: Seja encontrar a solução para A13 + A23 + A33 = B4.

Seja a equação:

clip_image002[92]

Vamos considerar a equação:

clip_image002[94]

Multiplicando ambos os membros da equação acima por:

clip_image002[96]

Obtemos:

clip_image002[98]

clip_image002[100]

clip_image002[102]

clip_image002[104]

clip_image002[106]

Comparando a equação (9) com a equação (8), devemos decompor m em potências de 3 e m + 1 em potências de 4. Isso só será possível se m e m + 1 forem, respectivamente, múltiplos de 3 e 4. Logo:

clip_image002[108]

Assim, a equação (9) fica:

clip_image002[110]

clip_image002[112]

clip_image002[114]

clip_image002[116]

Logo, as soluções da equação dada são obtidas fazendo:

clip_image002[118]

clip_image002[120]

clip_image002[122]

clip_image002[124]

clip_image002[126]

Por exemplo, se x = y = z = 1, temos que:

clip_image002[128]

clip_image002[130]

clip_image002[132]

clip_image002[134]

Substituindo na equação original:

clip_image002[136]

clip_image002[138]

clip_image002[140]

clip_image002[142]

Quando k = 2, recai ao primeiro teorema; para k = 3, caímos no teorema 2. A resolução acima vale para generalizarmos para k > 3, seguindo o mesmo raciocínio.

Na terceira parte desta série, veremos aplicações dos Teoremas de Sebá no mercado financeiro

Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB, além de colaborador deste blog. Foram feitas algumas alterações do manuscrito original para melhor exposição.


Veja mais:

Método de Resolução das Equações de Sebá (Parte 1 de 3)
Método de Resolução das Equações de Sebá (Parte 3 de 3) Aplicação no Mercado Financeiro
Método de Sebá para Resolução de Alguns Casos Particulares de Equações Diofantinas Lineares

5 comentários:

  1. Olá, Kleber!!!!

    Parabéns, parceiro!!!! É assim mesmo que, na minha modesta opinião, devemos fazer na rede mundial de informação, na WWW, a transmissão do(s) conhecimento (s), ou seja: compartilhamento de trabalhos; trabalhos em equipe; links para veículos de comunicações (sites e blogs): comentários construtivos e quanto mais, melhor!!!!
    Grande Sebá!!!! Merece ser premiado por esse trabalho relevante!!!!

    Um abraço!!!!!

    ResponderExcluir
  2. muito bom.............

    ResponderExcluir
  3. Muito bom o post e todo o conteúdo do blog!

    ResponderExcluir
  4. Valdir, obrigado. É sempre bom compartilhar ideias de outros amantes da Matemática. O prof. Sebá cria artigos muito bons e fico feliz de tê-lo como colaborador do blog.

    Um abraço!

    ResponderExcluir

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$$a^2+b^2=c^2$$
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