26 de mai de 2013

Retas Perpendiculares

Veremos nesta postagem como determinar se duas retas são perpendiculares entre si, dados seus coeficientes angulares.
Considere duas retas $r_1$ e $r_2$ não perpendiculares a nenhum dos eixos $x$ e $y$. Sejam $m_1$ e $m_2$ os coeficientes angulares das retas $r_1$ e $r_2$, respectivamente. As retas $r_1$ e $r_2$ serão perpendiculares entre si se, e somente se, o ângulo formado entre elas for igual a $90^\circ$.

Teorema $1$: Duas retas são perpendiculares entre si se o coeficiente angular de uma delas for igual ao oposto do inverso da outra, ou seja:
\begin{equation}
m_1\cdot m_2=-1
\end{equation}
Demonstração: Sejam $m_1$ o coeficiente angular da reta $r_1$ denotado por $m_1=\text{tg}(\theta)$ e $m_2$ o coeficiente angular da reta $r_2$ denotado por $\displaystyle m_2=\text{tg}\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)$. Temos que:
\begin{equation}
\text{tg}\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\text{sen}\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)}{\cos{\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)}}
\end{equation}
Pela fórmula da soma de arcos, segue que:
$$\text{tg}\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\text{sen}(\theta)\cos \left ( \frac{\pi}{2} \right )+\text{sen}\left ( \frac{\pi}{2} \right )\cos(\theta)}{\cos(\theta)\cos\left ( \frac{\pi}{2} \right )-\text{sen}(\theta)\text{sen}\left ( \frac{\pi}{2} \right )}$$
$$\text{tg}\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\text{sen}(\theta)\cdot 0+1\cdot \cos(\theta)}{\cos(\theta)\cdot 0-\text{sen}(\theta)\cdot 1}$$
$$\text{tg}\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=- \frac{\cos(\theta)}{\text{sen}(\theta)}$$
\begin{equation}
\text{tg}\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=-\text{cotg}(\theta)=-\frac{1}{\text{tg}(\theta)}
\end{equation}
Como $m_1=\text{tg}(\theta)$ e $\displaystyle m_2=\text{tg}\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{1}{\text{tg}(\theta)}$, podemos dizer que:
\begin{equation}
\begin{matrix}
m_2=-\frac{1}{m_1}\\
\text{ou}\\
m_1\cdot m_2=-1\\
\end{matrix}
\end{equation}

Exemplos: Verifique se as retas são perpendiculares.

a) $r_1:x+2y-1=0$   e   $r_2:2x-y+3=0$

O coeficiente angular de uma reta é dada por:
\begin{equation}
y-y_0=m(x-x_0)
\end{equation}
As equações das retas dadas estão na forma geral: $ax+by+c=0$. Isolando $y$ colocamos-as na forma reduzida: $y=mx+q$, onde $m=-a/b$ e $q=-c/b$, sendo $m$ o coeficiente angular da reta. Assim, temos: $\displaystyle r_1:y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$ e $\displaystyle r_2:y=2x-3$. Assim, $m_1=-1/2$ e $m_2=2$.

Utilizando a fórmula dada em $(4)$, temos:
$$m_2=-\frac{1}{m_1}$$
De fato, temos:
$$2=-\frac{1}{-1/2} \Rightarrow -1=-1$$
O que mostra que as retas são perpendiculares. Graficamente:
b) $r_1:x+3y-1=0$   e   $r_2:-x-y+4=0$.

Escrevendo as retas na forma reduzida, temos: $r_1:x+3y-1=0$ e $r_2:-x-y+4=0$ e os respectivos  coeficientes angulares são $m_1=-1/3$ e $m_2=-1$. Vemos que as retas não são perpendiculares, já que ambos os coeficientes angulares são negativos, onde o produto será um número positivo. Graficamente:

c) Sejam as retas $r_1$ passa pelo ponto $A_1(0,3)$ e $A_2(-1,4)$ e a reta $r_2$ passa pelo ponto $B_1(1,4)$ e $B_2(0,3)$.

Determinamos os coeficientes angulares das retas:
\begin{matrix}
r_1: y-y_A=m_1(x-x_A)\\
4-3=m_1(-1-0)\\
m_1=-1\\
\end{matrix}
e
\begin{matrix}
r_2: y-y_B=m_2(x-x_B)\\
3-4=m_2(0-1)\\
m_2=1\\
\end{matrix}
Temos que:
\begin{matrix}
m_1 \cdot m_2=-1\\
-1\cdot 1=-1\\
-1=-1\\
\end{matrix}
O que é uma verdade e as retas realmente são perpendiculares. Graficamente:

Veja mais: 

Valor Absoluto e a Desigualdade Triangular
Fórmula das Coordenadas de um Triângulo
Reta Tangente a uma Curva

20 de mai de 2013

Números Perigosos

O Número da Besta: Muitas religiões dependem muito do simbolismo dos números e usam métodos numéricos especiais para descobrir ou ocultar segredos. Nos primeiros anos do cristianismo, os romanos estavam usando como talismã o quadrado mágico do Sol. 


O quadrado mágico do Sol foi um dos símbolos mais importantes utilizados para representar o Sol na antiguidade por causa de todo o simbolismo que envolvia o número perfeito $6$. Há $6$ lados num cubo, a soma ou multiplicação dos número $1$, $2$, $3$ resulta em $6$ e a soma de todos os número de $1$ a $36$, dispostos em $6$ linhas por $6$ colunas, resulta em $666$. O quadrado é mágico porque as linhas, colunas e diagonais somam sempre $111$. Após a Igreja dominar o Império Romano, quem possuísse o diagrama poderia ser queimado na fogueira, já que no cristianismo o número $666$ é O Número da Besta!


Não aos Negativos: Na Europa durante a Renascença, os números negativos não eram reconhecidos. Soluções para problemas matemáticos que incluíam números negativos muitas vezes eram descartadas. Apesar dos antigos matemáticos chineses e indianos terem explicado o uso dos números negativos, geralmente relacionando-os com débitos econômicos, os matemáticos na Europa lutavam contra eles. Por exemplo, o matemático alemão Michael Stifel $(1487-1567)$ chamou de "números absurdos" os números menores do que zero. O matemático francês Albert Girard $(1595-1632)$ provavelmente foi o primeiro acadêmico importante a aceitar totalmente os números negativos em soluções, mas só no início do século $XIX$ que houve um fundamento adequado para a aritmética com números negativos.

"É controvertida a questão dos números irracionais existirem ou não. Porque ao estudar as figuras geométricas, onde os números irracionais nos abandonam, os números irracionais ocupam seu lugar e mostram precisamente o que os números racionais são incapazes de mostrar... somos motivados e obrigados a admitir que eles estão corretos ..."
Michael Stifel

Dígitos Perigosos: O número $666$ não é o único número específico a ser demonizado. Na China é ilegal usar a data do massacre da Praça Tiananmen (Praça da Paz Celestial), $8964$, referenciando o dia $4$ de Junho de $1898$, como senha ou número $PIN$, ou em qualquer outra forma que possa veicular esse número com o evento. Somente é aceito como próximo número na sequencia natural de contagem. Assistam a este vídeo e a este também.

Nos EUA, há um número hexadecimal de $32$ dígitos que adquiriu o status de número ilegal. Ele é a chave para a codificação de DVDs de alta definição e sua publicação é tecnicamente ilegal, pois o uso dessa chave com o mecanismo apropriado tornaria possível decodificar os DVDs. O AACS (Advanced Access Content System) declara que ele é um copyright circumvention device (uma espécie de dispositivo de proteção de direitos autorais) e a posse de um copyright circumvention device é uma transgressão à Digital Millenium Copyright Act. No entanto, pouco tempo após ele ser revelado, o número secreto foi publicado em $300.000$ web sites e as tentativas de removê-lo do domínio público foram totalmente inúteis. O número é este:

F9 09 11 02 9D 74 5B E3 D8 41 56 C5 63 56 88 C0

A AACS declara possuir muitos outros números usados para encriptação, mas não dirá o que eles são, claro!


O Número Zero: O pensamento dos antigos gregos era geométrico o bastante para que pudessem desenvolver uma aritmética onde figurasse o número zero. Pois como mensurar uma forma de tamanho zero?

Em grande parte, a influência de Aristóteles e seus discípulos, representava uma visão de mundo que via os planetas e estrelas como inseridos em uma série de esferas celestes concêntricas de extensão finita. Essas esferas, todas centradas na Terra, estariam preenchidas com uma substância etérea, e postas em movimento por um "motor imóvel". A filosofia cristã, viu no motor imóvel uma identidade de Deus, e uma vez que não havia lugar para um vazio nesta cosmologia, seguia-se a ideia de que tudo que fosse associado ao vazio era um conceito que negava também a existência de Deus.

Por volta de $628d.C.$, Brahmagupta foi o primeiro matemático a tratar os números como quantidades puramente abstratas. Isso o permitiu transcender o pensamento geométrico e entrar no mundo dos números negativos. Com as ideias de Copérnico, revelando que a Terra se move em torno do Sol, lentamente a matemática europeia começou a livrar-se dos grilhões da cosmologia aristotélica.

O sistema cartesiano de René Descartes unificou a álgebra e a geometria colocando o zero como coração imóvel de seu sistema. O zero estava longe de ser irrelevante para a geometria, como os gregos haviam sugerido. Agora era essencial para ela.

Mais tarde o cálculo mostrou, pela primeira vez, como o zero estava próximo do infinitamente pequeno e como tudo no cosmos poderia mudar sua posição.


Referências:

[1] A História da Matemática - Anne Rooney

Veja mais: 

O Problema dos Quadrados Mágicos
O Quadrado Mágico da Besta  no blog Fatos Matemáticos
Zero: O Número que Tentaram Proibir no blog Infravermelho
Quadrado Mágico de Ordem Ímpar - Parte 1, 2, 3 e 4 no blog Matemágicas e Números

11 de mai de 2013

A Integral Como Antiderivada

Na matemática aplicada ocorre frequentemente conhecermos a derivada de uma função e termos que encontrar a própria função. Por exemplo, podemos conhecer a velocidade $dx/dt$ de uma partícula e precisamos encontrar a equação do movimento $x=f(t)$, ou podemos querer achar a função lucro de um certo produto quando conhecemos a margem de lucro. As soluções desses problemas necessitam que se desfaça a operação de diferenciação, isto é, temos que antidiferenciar.

Se $f$ e $g$ são duas funções tais que $g'=f$, podemos dizer que $g$ é uma antiderivada de $f$. Assim $g(x)=x^2$ é uma antiderivada de $f(x)$, desde que $D_x(x^2)=2x$. Se $C$ é uma constante, então a função definida por $y=x^2+C$ também é uma antiderivada de $f$, desde que $D_x(x^2+C)=2x$. Geometricamente, se o gráfico de $y=x^2+C$ é obtido pela translação do gráfico de $y=x^2$ verticalmente de $C$ unidades, isso não muda a inclinação da reta tangente para um dado valor de $x$.

 [Figura 1]

Definição $1$: Uma função $g$ é dita antiderivada (ou primitiva) de uma função $f$ sobre um conjunto de números $I$ se $g'(x)=f(x)$ para todos os valores de $x$ em $I$. O procedimento para achar antiderivadas é chamado antidiferenciação.

Se afirmarmos que $g$ é uma antiderivada de $f$ sem mencionar explicitamente o conjunto $I$, da definição $1$, fica subtendido que $I$ é todo o domínio de $f$, tal que $g'(x)=f(x)$ vale para todos os valores de $x$ no domínio de $f$.

Exemplo $1$: Vamos provar que $\displaystyle g(x)=\frac{x+1}{x-1}$ é uma antiderivada de $\displaystyle f(x)=\frac{-2}{(x-1)^2}$.

Usamos a regra da derivada de um quociente, fazendo:
$$g'(x)=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2}=\frac{-2}{(x-1)^2}$$
Vejam que, se $g$ é uma antiderivada de $f$ sobre um conjunto $I$, então $g+C$ também o é, onde $C$ é uma constante qualquer. A razão é que se $D_xg(x)=f(x)$, então:
$$D_x[g(x)+C]=D_xg(x)+D_xC=f(x)+0=f(x)$$
Portanto, após acharmos uma antiderivada $g$ de uma função $f$, temos automaticamente um infinito de antiderivadas de $f$ da forma $g+C$, onde $C$ é uma constante arbitrária.

Exemplo $2$: Sendo $\displaystyle g(x)=\frac{x}{1+x}$ uma antiderivada de $\displaystyle f(x)=\frac{1}{(1+x)^2}$, encontre um número infinito de antiderivadas de $f$.

Vamos definir $h=g+C$, onde $C$ é uma constante arbitrária. Assim:
$$h(x)=\frac{x}{1+x}+C=\frac{x+C+Cx}{1+x}$$
Quaisquer dessas funções $h$ é uma antiderivada de $f$. Desde que a derivada de uma função constante seja a função nula, segue que qualquer função constante é uma antiderivada da função nula.

Teorema $1$: Antidiferenciação da função nula. 

Seja $g$ uma função tal que $g'(x)=0$ vale para todos os valores de $x$ em algum intervalo aberto $I$. Então $g$ tem um valor constante em $I$.

Demonstração: Para esta demonstração, basta provar que o valor de $g$ em um número $a$ em $I$ é o mesmo valor de $g$ em qualquer outro ponto $b$ em $I$. Pelo Teorema do Valor Médio, existe um número $C$ entre $a$ e $b$ tal que:
$$g(b)-g(a)=g'(c)(b-a)=0(b-a)=0$$
Assim, $g(a)=g(b)$ finalizando nossa demonstração.

O teorema seguinte é uma consequência direta do Teorema $1$ e nos mostra como encontrar todas as antiderivadas de uma função em um intervalo aberto, desde que se conheça uma dessas derivadas.

Teorema $2$: Antidiferenciação em um intervalo aberto.

Seja $g$ uma antiderivada da função $f$ no intervalo aberto $I$. Então uma função $h$ com domínio $I$ é uma antiderivada de $f$ em $I$ se e somente se $h=g+C$ para qualquer constante $C$.

Demonstração: Se $h=g+C$, então $h'=g'=f$, logo, $h$ é uma antiderivada de $f$ em $I$. Agora, vamos super que $h$ é uma antiderivada de $f$ em $I$, então a função $h-g$ satisfaz $(h-g)'=h'-g'=f-f=0$ no intervalo aberto $I$. Segue do Teorema $1$ que existe uma constante $C$ tal que $h-g=C$, isto é, $h=g+C$.

Exemplo $3$: Se a função $\displaystyle g(x)=\frac{1}{2}x^2$ é uma antiderivada da função $f(x)=x$, ache todas as antiderivadas de $f$.

Neste caso, o intervalo $I$ é $\mathbb{R}$. Pelo Teorema $2$, as antiderivadas de $f$ são todas as funções $h$ da forma $\displaystyle h(x)=\frac{1}{2}x^2+C$, onde $C$ é uma constante.

Notação para antiderivadas

As antiderivadas são tradicionalmente escritas usando-se um simbolismo especial que tem algumas vantagens da notação de Leibniz para derivadas e que foi usado pelo próprio Leibniz. O simbolismo pode ser compreendido pensando-se na diferencial $dy$ como uma porção infinitesimal de $y$ e imaginando que $y$ é a soma de todos esses infinitos. Leibniz usou uma letra $S$ estilizada: $\displaystyle \int$ para tais somatórios, tal que $\displaystyle y=\int dy$ deva simbolizar a ideia de que $y$ é a soma de todas sua diferenciais individuais.

Johann Bernoulli, um contemporâneo de Leibniz, sugeriu que o processo de reunir infinitésimos de forma a se ter uma quantidade inteira ou completa, como expresso por $\displaystyle y=\int dy$ deva ser convenientemente chamado de integração ao invés de somatório. A sugestão de Bernoulli foi aceita e hoje usamos o símbolo $\displaystyle \int$ como sinal de integração.

Vamos supor que $g$ é a antiderivada de $f$, tal que $g'=f$. Se tomarmos $y=g(x)$, então $dy=g'(x)dx=f(x)dx$, tal que:
$$y=\int dy=\int f(x)dx\text{  ; isto é,  }g(x)=\int f(x)dx$$
Se $C$ é uma constante qualquer, então $g(x)+C$ também é uma antiderivada de $f$.

Definição $2$: Notação para integral de antiderivadas

A notação $\displaystyle \int f(x)dx=g(x)+C$, onde $C$ é uma constante arbitrária, significa que a função $g$ é uma antiderivada da função $f$, tal que $g'(x)=f(x)$ vale para todos os valores de $x$ no domínio de $f$.

Se $I$ é um conjunto de números, a afirmativa de que $\displaystyle \int f(x)dx=g(x)+C$ e, $I$ (ou para $x$ em $I$), significa que $g$ é uma antiderivada de $f$ em $I$. Na definição $2$ a constante $C$ é chamada de constante de integração, o símbolo $\displaystyle \int$ é chamado de sinal da integral e a função $f$, ou a expressão $f(x)$ é chamada integrando da expressão $\displaystyle \int f(x)dx$. Também dizemos que $f(x)$ está sob o sinal da integral.

O processo para calcular $\displaystyle \int f(x)dx$, isto é, achar $g(x)+C$, é chamado de integração indefinida. Neste caso, indefinida é usado porque a constante $C$ pode assumir qualquer valor e portanto não é decididamente determinada pela função $f$. Por causa da natureza arbitrária da função $C$, a integral indefinida $\displaystyle \int f(x)dx$ não representa uma quantidade particular ou função. Portanto, devemos tomar certo cuidado ao manipular esta expressão.

Para verificar a afirmativa da forma: $\displaystyle \int f(x)dx=g(x)+C$ é necessário apenas verificar que $g'(x)=f(x)$ para todos os valores de $x$ no domínio de $f$.

Exemplo $4$: Verificar a equação dada: $\displaystyle \int x^2dx=\frac{1}{3}x^3+C$.

Solução: $\displaystyle D_x\left(\frac{1}{3}x^3 \right)=x^2$

Exemplo $5$: Verificar a equação: $\displaystyle \int dx=x+C$.

Solução: $\displaystyle \int dx= \int 1dx=x+C$, portanto, $D_x(x)=1$.


Métodos para integração:

Integração por Partes
Integração por Substituição
Integração por Substituição Trigonométrica
Integração por Frações Parciais - Fatores Lineares
Integração por Frações Parciais - Fatores Quadráticos Irredutíveis

Referências:

[1] Cálculo V1 - Munem - Foulis
[2] Notas de aula


Veja mais: 

Leibniz e as Diferenciais
Os Mitos Leibzinianos a Respeito das Curvas Diferenciais
O Cálculo Integral: O Cálculo das Áreas

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