24/01/2016

Resolução da integral $\displaystyle \int (ax+b)^n\ dx$

Nesta postagem, vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\int (ax+b)^n\ dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C
\end{equation*}
onde $a$, $b$ e $n$ $\in \mathbb{R}$, sendo $a$ e $n$ $\neq 0$.

[Família de funções integráveis na forma $(ax+b)^n$]

Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int (ax+b)^n\ dx
\end{equation*}
Para o integrando, fazemos a substituição $u=ax+b$. Assim, $du=a\ dx$ e $\displaystyle dx = \frac{1}{a}du$:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a} \int u^n\ du
\end{equation*}
A integral de $u^n$ é $\displaystyle \frac{u^{n+1}}{n+1}$. Assim:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a}\cdot \frac{u^{n+1}}{n+1}+C
\end{equation*}
Mas $u=ax+b$, logo:
\begin{equation*}
I = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C
\end{equation*}

Exemplo $1$:

Encontrar a área sob o eixo dos $x$ da função $f(x)=(3x-1)^3$, compreendida no intervalo de $x=0$ até o ponto em que $f(x)$ corta o eixo dos $x$.


O ponto em que $f(x)$ corta o eixo dos $x$ é o ponto em que $f(x)=0$, ou seja, em que $x$ é o zero da função. Para encontrarmos este valor de $x$, tomamos a equação $(3x-1)^3=0$ e encontramos sua raiz real:
\begin{equation*}
(3x-1)^3 = 0\\
\ \\
(3x-1)(3x-1)(3x-1)=0\\
\ \\
3x-1=0\\
\ \\
3x=1\\
\ \\
x=\frac{1}{3}
\end{equation*}
O valor de $x=1/3$ é a raiz tripla da equação.


Para calcularmos a área entre a curva $f(x)$ e o eixo dos $x$ nos limites $x=0$ e $x=1/3$, usamos a integral definida:


\begin{equation*}
A = \int_0^{1/3} (3x-1)^3\ dx
\end{equation*}
Sabendo que:
\begin{equation*}
\int (ax+b)^3 = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}
\end{equation*}
Fazendo $a=3$, $b=-1$ e $n=3$, temos que:
\begin{equation*}
A = \left[ \frac{(3x-1)^{3+1}}{3(3+1)}\right]_0^{1/3} = \left[ \frac{(3x-1)^4}{12}\right] _0^{1/3} = \left[ \frac{0}{12} - \frac{(-1)^4}{12}\right] \\
\ \\
A = -\frac{1}{12} \approx -0,08333
\end{equation*}
O valor negativo encontrado para a área indica apenas que a região calculada estava sob o eixo dos $x$. Assim, a área compreendida entre o eixo dos $x$ e a curva $f(x) = (3x-1)^3$, no intervalo $[0,1/3]$, vale aproximadamente $0,08333$ unidades de área.

Exemplo $2$:

Encontrar a área entre o eixo dos $x$ e a curva $f(x)=(2x+7)^5$, compreendida no intervalo em que $f(x)$ corta o eixo dos $x$ e $x=0$.


O ponto em que $f(x)$ corta o eixo dos $x$ é o ponto em que $f(x)=0$, ou seja, em que $x$ é o zero da função. Para encontrarmos este valor de $x$, tomamos a equação $(2x+7)^5=0$ e encontramos sua raiz real:
\begin{equation*}
(2x+7)^5=0\\
\ \\
(2x+7)(2x+7)(2x+7)(2x+7)(2x+7)=0\\
\ \\
2x+7=0\\
\ \\
2x=-7\\
\ \\
x=-\frac{7}{2}
\end{equation*}
Para calcularmos a área entre a curva $f(x)$ e o eixo dos $x$ nos limites $\displaystyle x=-\frac{7}{2}$ e $x=0$, usamos a integral definida:


\begin{equation*}
A = \int_{-7/2}^0 (2x+7)^5\ dx = \left[ \frac{(2x+7)^6}{12} \right]_{-7/2}^0\\
\ \\
A = \frac{7^6}{12} - \frac{0}{12} = \frac{117.649}{12} \approx 9.804
\end{equation*}
A área compreendida entre o eixo dos $x$ e a curva $f(x) = (2x+7)^5$, no intervalo $[-7/2 , 0]$, vale aproximadamente $9.804$ unidades de área.


Veja mais:

Lista de resolução de integrais
Integração por substituição
Integração por partes



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