13/07/2010

Regressão Polinomial

Para a regressão polinomial, podemos usar o mesmo princípio dos mínimos quadrados utilizados na Regressão Linear [Veja este estudo aqui], se admitirmos que a função de regressão é um polinômio de grau k > 1. Para isso, devemos estimar k + 1 coeficientes.

Tomando as derivadas parciais em relação às k + 1 estimativas, chegamos a um sistema linear de k + 1 equações com k + 1 incógnitas que, após resolvido, fornece a solução para o problema.

Uma dificuldade nesse tipo de problema é a solução do sistema quando o número k é relativamente grande. Com o uso de computadores, essa dificuldade praticamente inexiste.

Ajustamento Parabólico ou Parábola dos Mínimos Quadrados

Se admitirmos que a função de regressão é um polinômio de grau 2, teremos uma parábola na forma:

clip_image002

A parábola-estimativa que devemos obter é:

clip_image004

Devemos encontrar a curva que minimize:

clip_image006

onde di é a distância entre o ponto experimental e a curva de regressão na direção vertical.

Para a equação (1), devemos impor a condição:

clip_image008

Os valores dos coeficientes a, b e c que minimizam essa expressão serão aqueles que anulam as derivadas parciais dessa expressão:

clip_image010

Da última forma da equação (2), fazemos as derivadas parciais (3):

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Onde n é a quantidade de dados experimentais.


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As equações (4), (5) e (6) nos fornecem um sistema linear de três equações a três incógnitas:

clip_image042

Os pontos experimentais nos fornecem os elementos para a montagem deste sistema, cuja solução nos fornecerá os coeficientes a, b e c. Depois, basta aplicarmos na equação (1) para encontrarmos a equação de regressão.

Exemplo: Dado o número de pessoas geradoras de uma moléstia hereditária em função do número de indivíduos geradores desta moléstia, ajustar uma parábola de regressão e fazer uma estimativa para 6 e 7 geradores. Considere a tabela abaixo, onde x é o número de geradores e y é o número de indivíduos portadores por dezenas.

image [Tabela 1]

Temos os valores experimentais de x e y. Mas para o sistema linear dado em (7), devemos determinar outros valores, que são combinações de x e y:

image

[Tabela 2]

Substituindo os valores dos somatórios da tabela 2 no sistema linear (7), obtemos:

clip_image044

Escolha um método para resolução do sistema linear de sua preferência. Um método alternativo e muito eficaz é o Método de Castilho (Veja aqui).

Resolvendo o sistema linear, encontramos:

a = 1,5

b = – 1,5

c = 1

Substituímos estes valores na equação (1):

clip_image046

clip_image048

Que é a equação da parábola-estimativa.

Se quisermos uma estimativa para 6 e 7 geradores da moléstia, basta aplicarmos na equação (8):

Se tivermos 6 geradores:

clip_image050

clip_image052

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Teremos 28 portadores da moléstia.

Se tivermos 7 geradores:

clip_image050[1]

clip_image056

clip_image058

Teremos 40 portadores da moléstia.


Veja mais:

Regressão Linear
Polinômio Interpolador de Lagrange

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Regressão Polinomial. Publicado por Kleber Kilhian em 13/07/2010. URL: . Leia os Termos de uso.


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2 comentários:

  1. Gostaria de parabenizá-lo pelo coteúdo de seu blog, pois fiquei muito feliz de tê-lo encontrado em meio a tantos lixos por aí.

    Este artigo em especial está maravilhosamente bem apresentado. Gostei muito.

    Saudações!

    Ulrich Van Kroeguer

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  2. Certa vez encontrei num livro de Excel um sistema de equações exatamente igual ao da figura 7 deste artigo.

    À partir desse sistema deduzi as fórmulas matriciais para determinação da regressão polinomial de qualquer grau e codifiquei isso no VBA do Excel.

    Hoje, passados muitos anos disso, procurei novamente esse sistema de equações e somente encontrei nesse artigo.

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