Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 8)

Esta construção foi elaborada por Jo Niemeyr e publicada no Forum Geometricorum, volume 11 de 2011.

1) Para esta construção, inicie com uma circunferência de dentro D e diâmetro AB.

2) Trace uma reta tangente ao ponto A, prolongando-a.

3) Descreva uma circunferência de dentro D e raio AB e centro marque o ponto C na intersecção com a reta tangente.

4) Una os pontos CD e marque como F a intersecção com a primeira circunferência. Vejam que os segmentos AB e CD tem mesmo comprimento.

5) Com centro em F e raio AB descreva uma circunferência interceptando a reta tangente em E.

6) Vejam que o segmento EF tem o mesmo comprimento dos segmentos AB e CD.

O ponto C divide o segmento AE na razão áurea.

Demonstração

Primeiramente vamos demonstrar que os pontos G e H dividem em partes iguais os segmentos AC e AD, respectivamente.

Como os segmentos AB e CD tem mesmo comprimento, temos que CD = 2AD e FD = AD. Assim:

Da mesma forma, como os segmentos AB e CD tem mesmo comprimento, CD = 2AD e CF = AD. Assim:

Desta forma, temos que:

Aplicando o teorema pitagórico no triângulo EFG, obtemos:

Como EF = AB = 2DA, fazemos:

Agora, aplicamos o teorema pitagórico no triângulo ACD, obtendo:

Como o segmento CD = AB = 2AD, fazemos:

Como o ponto G divide o segmento AC em partes iguais, temos:

O segmento AE é composto por:

Chegamos então à razão áurea que será dada por:

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Veja mais:

Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 1)
Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 2)
Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 3)
Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 4)
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