Neste post, vamos mostrar como Briggs determinou o valor de log2 através um laborioso processo de aproximações sucessivas.
Seja log2 = x. Assim, temos que 10x = 2. Vamos inicialmente situar o número 2 entre duas potências de 10, a1 e a2, com expoentes inteiros e sucessivos. Teremos: a1 = 1 e a2 = 10. Deste modo:
Esquematicamente, temos:
Assim, já temos uma primeira aproximação para log2, pois:
Sendo a3 a média geométrica entre a1 e a2, teremos:
Vamos agora localizar o valor de a3 na reta do esquema anterior:
Conseguimos uma aproximação melhor, pois:
A escolha de utilizar a média geométrica entre a1 e a2 e não a média aritmética é que se assim fizéssemos, encontraríamos a3 = 5,5 e não conseguiríamos transformar em uma potência de 10:
o que prejudicaria o processo de sucessões.
Podemos então continuar a repetir as operações tomando agora a média geométrica entre a1 e a3:
Analogamente, podemos prosseguir as aproximações encontrando:
Vejam como através das aproximações, fomos “cercando” o número 2:
Vejam que conseguimos uma satisfatória precisão de 5 casas decimais. Desta forma, temos que:
Vamos lembrar que a tabela que Briggs construiu apresentava os logaritmos dos números inteiros de 1 a 1000, com precisão até a 14ª casa decimal! Porém a grande maioria desses logaritmos foi obtida recorrendo-se a outros anteriores calculados. Mas isso não tira o brilho de suas construções. Vejam alguns exemplos:
Considerando que log2 = 0,30103 e log3 = 0,47712, determine:
a) log4
Então:
Ou seja:
b) log5
Então:
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Ou seja:
c) log6
Ou seja:
Veja mais:
Stifel, Bürgi e a Criação dos Logaritmos
Os Logaritmos Segundo Napier
Utilizando Tábuas para Calcular Logaritmos
Uma curiosidade: como Briggs calculou essas sucessivas potências de 10? Abs.
ResponderExcluirOlá Paulo,
ResponderExcluirEssa é uma pergunta que me fiz também. O método em si já é muito engenhoso, e para calcualr as potências, creio que não tenha sido diferente. Mas fica essa questão em aberto, procurei, mas não encontrei como foi feito o desenvolvimento. Infelizmente o material que chega até nós é muito escasso e na maioria das vezes, incompleto. Se descobrir alguma coisa sobre, por favor me avise.
Um abraço.
Ok, Kleber, vou tentar achar alguma coisa e encontrando, te passo. Com certeza, o método é bastante engenhoso (não conhecia). Abs.
ResponderExcluirbrilhante postagem irmão, estava precisando deste material para aula, mas a minha pergunta é como foi feito esses calculos com expoentes decimais.
ResponderExcluirum abraço
Olá amigo,
ResponderExcluirSua pergunta é a mesma de nosso amigo Paulo Bouhid, mas não tenho essa resposta. Já havia procurado na internet algo sobre, mas não encontrei. Fico devendo essa!
Abraços.
Não é preciso calcular as potências de 10!! Achamos um novo termo da sequência calculando a média geométrica dos dois termos anteriores mais próximos do 2 (nesse caso). Só que usamos esses termos anteriores na sua FORMA DECIMAL e não como potência de 10!! Não há problema em multiplicarmos dois decimais e depois extrairmos a raíz quadrada. Se calculamos nosso novo termo assim, então pra quê aquela simbologia dos radicais e potências de 10? PARA SABERMOS EM QUAL POTÊNCIA DE 10 ESTÁ NOSSO NOVO TERMO!!
ExcluirResumindo: a manipulação com radicais e potências de 10 vai nos dar a potência de 10 em que está nosso novo termo, mas O CÁLCULO desse novo termo vai utilizar os termos anteriores já conhecidos na sua FORMA DECIMAL.
Espero ter ajudado.
Isso devia ser ensinado nas escolas descomplica bastante o assunto!
ResponderExcluirÉ verdade Arlete, este e muitos outros tópicos nem sequer estão nos livros didáticos, pois a Matemática é muito ampla e algumas coisas devem ser omitidas por não haver tempo letivo suficiente para desenvolver tudo.
ResponderExcluirUm abraço!
a tábua de log pode ser calculada pelas séries de Maclaurin ou pelo método das frações contínuas.Hoje, com o Kleber, aprendi mais um método.
ExcluirEu conhecia 2 métodos. pela séris de Maclaurin e pelas frações constantes. O Kleber hoje, me ensinou um 3 método
ExcluirObrigado Lopes pelo prestígio. Um grande abraço!
ExcluirMuito interessante e trabalhoso!
ResponderExcluirDesconhecia esse método, muito interessante.
ResponderExcluirNo livro do Feynman, lectures on physics v1, no capitulo algebra, tem uma descriçāo de como o Briggs concluiu a sua tabela
ResponderExcluirOlá Flávio!
ExcluirObrigado por compartilhar esta informação. Procurarei a descrição no livro.
Um abraço!
gente que trem doido esse homem deve ter tido um trabalho danado pra fazer isso! mas é muito legal.
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