07/08/2011

A Construção da Primeira Tábua de Logaritmos Decimais por Briggs

Neste post, vamos mostrar como Briggs determinou o valor de log2 através um laborioso processo de aproximações sucessivas.

imageSeja log2 = x. Assim, temos que 10x = 2. Vamos inicialmente situar o número 2 entre duas potências de 10, a1 e a2, com expoentes inteiros e sucessivos. Teremos: a1 = 1 e a2 = 10. Deste modo:

clip_image002

clip_image004

clip_image006

clip_image008

Esquematicamente, temos:

image Assim, já temos uma primeira aproximação para log2, pois:

clip_image012

Sendo a3 a média geométrica entre a1 e a2, teremos:

clip_image014

Vamos agora localizar o valor de a na reta do esquema anterior:

image Conseguimos uma aproximação melhor, pois:

clip_image018

A escolha de utilizar a média geométrica entre a1 e a2 e não a média aritmética é que se assim fizéssemos, encontraríamos a3 = 5,5 e não conseguiríamos transformar em uma potência de 10:

clip_image020

o que prejudicaria o processo de sucessões.

Podemos então continuar a repetir as operações tomando agora a média geométrica entre a1 e a3:

clip_image022

Analogamente, podemos prosseguir as aproximações encontrando:

clip_image024

clip_image026

clip_image028

clip_image030

clip_image032

clip_image034

clip_image036

clip_image038

clip_image040

clip_image042

clip_image044

clip_image046

clip_image048

clip_image050

clip_image052

clip_image054

clip_image056

Vejam como através das aproximações, fomos “cercando” o número 2:

image

Vejam que conseguimos uma satisfatória precisão de 5 casas decimais. Desta forma, temos que:

clip_image060

Vamos lembrar que a tabela que Briggs construiu apresentava os logaritmos dos números inteiros de 1 a 1000, com precisão até a 14ª casa decimal! Porém a grande maioria desses logaritmos foi obtida recorrendo-se a outros anteriores calculados. Mas isso não tira o brilho de suas construções. Vejam alguns exemplos:

Considerando que log2 = 0,30103 e log3 = 0,47712, determine:

a) log4

clip_image062

Então:

clip_image064

Ou seja:

clip_image066

b) log5

clip_image068

clip_image070

Então:

clip_image070[1]

Ou seja:

clip_image072

c) log6

clip_image074

clip_image076

Ou seja:

clip_image078


Veja mais:

Stifel, Bürgi e a Criação dos Logaritmos
Os Logaritmos Segundo Napier
Utilizando Tábuas para Calcular Logaritmos

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: A Construção da Primeira Tábua de Logaritmos Decimais por Briggs. Publicado por Kleber Kilhian em 07/08/2011. URL: . Leia os Termos de uso.


Siga também o blog pelo canal no Telegram.
Achou algum link quebrado? Por favor, entre em contato para reportar o erro.
Para escrever em $\LaTeX$ nos comentários, saiba mais em latex.obaricentrodamente.com.

16 comentários:

  1. Uma curiosidade: como Briggs calculou essas sucessivas potências de 10? Abs.

    ResponderExcluir
  2. Olá Paulo,
    Essa é uma pergunta que me fiz também. O método em si já é muito engenhoso, e para calcualr as potências, creio que não tenha sido diferente. Mas fica essa questão em aberto, procurei, mas não encontrei como foi feito o desenvolvimento. Infelizmente o material que chega até nós é muito escasso e na maioria das vezes, incompleto. Se descobrir alguma coisa sobre, por favor me avise.
    Um abraço.

    ResponderExcluir
  3. Ok, Kleber, vou tentar achar alguma coisa e encontrando, te passo. Com certeza, o método é bastante engenhoso (não conhecia). Abs.

    ResponderExcluir
  4. brilhante postagem irmão, estava precisando deste material para aula, mas a minha pergunta é como foi feito esses calculos com expoentes decimais.
    um abraço

    ResponderExcluir
  5. Olá amigo,
    Sua pergunta é a mesma de nosso amigo Paulo Bouhid, mas não tenho essa resposta. Já havia procurado na internet algo sobre, mas não encontrei. Fico devendo essa!
    Abraços.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Não é preciso calcular as potências de 10!! Achamos um novo termo da sequência calculando a média geométrica dos dois termos anteriores mais próximos do 2 (nesse caso). Só que usamos esses termos anteriores na sua FORMA DECIMAL e não como potência de 10!! Não há problema em multiplicarmos dois decimais e depois extrairmos a raíz quadrada. Se calculamos nosso novo termo assim, então pra quê aquela simbologia dos radicais e potências de 10? PARA SABERMOS EM QUAL POTÊNCIA DE 10 ESTÁ NOSSO NOVO TERMO!!
      Resumindo: a manipulação com radicais e potências de 10 vai nos dar a potência de 10 em que está nosso novo termo, mas O CÁLCULO desse novo termo vai utilizar os termos anteriores já conhecidos na sua FORMA DECIMAL.
      Espero ter ajudado.

      Excluir
  6. Isso devia ser ensinado nas escolas descomplica bastante o assunto!

    ResponderExcluir
  7. É verdade Arlete, este e muitos outros tópicos nem sequer estão nos livros didáticos, pois a Matemática é muito ampla e algumas coisas devem ser omitidas por não haver tempo letivo suficiente para desenvolver tudo.

    Um abraço!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. a tábua de log pode ser calculada pelas séries de Maclaurin ou pelo método das frações contínuas.Hoje, com o Kleber, aprendi mais um método.

      Excluir
    2. Eu conhecia 2 métodos. pela séris de Maclaurin e pelas frações constantes. O Kleber hoje, me ensinou um 3 método

      Excluir
    3. Obrigado Lopes pelo prestígio. Um grande abraço!

      Excluir
  8. Desconhecia esse método, muito interessante.

    ResponderExcluir
  9. No livro do Feynman, lectures on physics v1, no capitulo algebra, tem uma descriçāo de como o Briggs concluiu a sua tabela

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Flávio!

      Obrigado por compartilhar esta informação. Procurarei a descrição no livro.

      Um abraço!

      Excluir
  10. gente que trem doido esse homem deve ter tido um trabalho danado pra fazer isso! mas é muito legal.

    ResponderExcluir

Whatsapp Button works on Mobile Device only

Pesquise no blog