Retificação da Circunferência (Parte 3) – Método de Gelder

Em busca de uma solução para o problema da quadratura do círculo, muitas construções já foram dadas para obter um segmento de reta de comprimento aproximado a π.

Este método de retificação foi desenvolvido por Gelder, mas somente publicada em 1849, 1 ano após sua morte.

Jacob de Gelder (1765 – 1848) foi um matemático holandês que serviu de inspiração para uma nova compreensão da finalidade e aplicação da matemática no início do século XIX na Holanda.

Gelder iniciou sua carreira em 1790 em Rotterdam, como professor em Wiskunst. Suas primeiras publicações datam de 1791 e 1794. Foi muito influente sobre questões de educação e a matemática passou a ser parte obrigatória do currículo de cada curso com um apelo ao valor educativo.

Aposentou-se aos 75 anos e no mesmo ano de 1840, recebeu o prêmio de Cavaleiro da Ordem do Leão Holandês. Faleceu em 1848 após uma rápida doença.

Vamos ver como se dá a construção de Gelder para o problema da retificação e determinar uma aproximação para π com precisão de 6 casas decimais. O que é curioso neste método é que o segmento construído aproxima somente a parte decimal de π.

A Retificação:

Seja AB o diâmetro de uma circunferência de diâmetro igual a 1:

Trace o segmento BC = 7/8 do diâmetro, perpendicular a AB em B:

No prolongamento de AB, marque AD = AC. Para isso, descreva um arco de raio AC e centro em A:

Trace DE = 1/2, perpendicular a AD em D.

Trace o segmento AE e seja F o pé da perpendicular a AC por D:

Una os pontos BF e trace uma paralela por E. Marque como G a intersecção com BD:

O segmento BG é aproximadamente a parte decimal de π, com precisão até a sexta casa decimal.

Demonstração:

Nos triângulos GAE e BAF, temos os segmentos proporcionais:

Como o triângulo ABC é retângulo em B, temos que:

Mas AC = AD, logo:

Substituímos (3) em (1):

No entanto, AB = 1, DE = 1/2 e BC = 7/8. Substituímos estes valores na relação (4):

Assim, obtemos o valor da parte decimal de π com 6 casas decimais corretas. Para o valor de π, somamos sua parte inteira:

Para a construção geométrica, já temos o segmento BG = 0,1415929 e o segmento AB = 1. No prolongamento do segmento BA, fazemos dois arcos de raios igual a AB: um de centro em A marcando H e outro de centro em H marcando I. Assim, o segmento IG aproxima π.

Referências:

[1] Introdução à História da Matemática – Howard Eves

[2] http://bwnw.cwi-incubator.nl/

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Veja mais:

Retificação da Circunferência (Parte 1)
Retificação da Circunferência (Parte 2) - Método de Kochanski
Uma Breve Cronologia de PI

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