Ângulo de segmento ou ângulo semi-inscrito

Nesta postagem, veremos como determinar o ângulo de segmento e provar que vale a metade do ângulo central.

Definição:

Ângulo de segmento ou ângulo semi-inscrito relativo a uma circunferência é o ângulo que tem o vértice num ponto da circunferência, um dos lados é uma secante e o outro lado é tangente à circunferência.

Considerando a figura acima, temos que:

$\bullet$ $\alpha = t\hat{A}s$ é o ângulo de segmento;
$\bullet$ $\widehat{AB}$ é o arco subtendido;
$\bullet$ $\beta = A\hat{O}B$ é o ângulo central correspondente ao ângulo semi-inscrito $\alpha$.

O nome ângulo de segmento vem do segmento circular $\widehat{AB}$ definido pelo ângulo central $\beta$.

Teorema:

Um ângulo de segmento é a metade do ângulo central correspondente.

Para este teorema, temos três casos: o ângulo de segmento pode ser agudo, reto ou obtuso.

Demonstrações:

$1º$ Caso: O ângulo de segmento é agudo

Considere o triângulo isósceles $OAB$ na figura acima. Vamos determinar o ângulo $\hat{A}$. Temos que:
$$\begin{equation*} \hat{A} + \hat{B} + \beta = 180°\\ \hat{A} + \hat{A} + \beta = 180°\\ 2\hat{A} = 180° - \beta \end{equation*}$$
Daqui obtemos:
$$\begin{equation} \hat{A} = 90°-\frac{\beta}{2} \end{equation}$$
Sendo a reta $t$ tangente à circunferência em $A$, temos:
$$\begin{equation} \alpha + \hat{A} = 90° \Longrightarrow \hat{A} = 90° - \alpha \end{equation}$$
Substituindo $(2)$ em $(1)$, obtemos:
$$\begin{equation*} 90° - \alpha = 90° - \frac{\beta}{2} \end{equation*}$$
O que nos leva a:
$$\begin{equation} \alpha = \frac{\beta}{2}=\frac{\widehat{AB}}{2} \end{equation}$$

$2º$ Caso: O ângulo de segmento é reto

Como o segmento $\overline{AB}$ é o diâmetro da circunferência, o ângulo $\beta=180°$. A tangente $t$ é ortogonal em $A$ e $\alpha=90°$. Assim:
$$\begin{equation} \alpha = \frac{\beta}{2} \end{equation}$$

$3º$ Caso: O ângulo de segmento é obtuso

Aplicando o primeiro caso no ângulo $\alpha '$, que é o adjacente suplementar do ângulo $\alpha$, obtemos:
$$\begin{equation} \alpha ' =\frac{\beta '}{2} \end{equation}$$
Por outro lado, $\beta + \beta ' = 360°$, logo:
$$\begin{equation} \beta ' = 360° - \beta \end{equation}$$
Substituindo $(6)$ em $(5)$, obtemos:
$$\begin{equation} \alpha ' = \frac{360° - \beta}{2} = 180° - \frac{\beta}{2} \end{equation}$$
Como $\alpha + \alpha ' = 180°$, temos:
$$\begin{equation} \alpha = 180° - \alpha ' \end{equation}$$
Substituindo $(7)$ em $(8)$, obtemos:
$$\begin{equation} \alpha = 180° - 180° - \frac{\beta}{2} = \frac{\beta}{2} \end{equation}$$

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V9 – Geometria Plana – Osvaldo Dolce e Nicolau Pompeo – Atual Editora

Veja mais:

O Teorema de Stewart
O Teorema do Ângulo Inscrito
O Teorema da Base Média de um Triângulo