O Cálculo no Japão

Takakazu Seki Kowa nasceu em março de 1642 em Fujioka, Japão, e morreu em 24 de outubro de 1708 em Edo (atual Tóquio), Japão, coincidentemente no mesmo ano que Isaac Newton. Era de uma família de guerreiros samurais, mas muito jovem foi adotado por uma família nobre chamada Seki Gorozayemon, nome este por qual é conhecido.

Seki foi uma figura singular: aprendeu Matemática sozinho e foi o primeiro a estudar determinantes, em 1683. Dez anos mais tarde, Leibniz usou determinantes para resolver equações simultâneas, embora a versão de Ski tratasse do caso geral.

Seki também descobriu os números de Bernoulli, mesmo antes de Jacob Bernoulli os terem "descoberto". Estudou casos de equações que tratam de raízes positivas e negativas, mas sem o conceito de número complexo. Estudou sobre quadrados mágicos em 1683 sendo o primeiro estudo sobre o tema no Japão.

Em 1683 estudo sobre equações diofantinas, tratando de soluções inteiras para equações do tipo $ax-by=1$ onde $a$ e $b$ são inteiros.

Segundo uma tradição um tanto vaga, Seki foi o fundador do cálculo japonês, chamado de yenri. O yenri era um método para determinar o comprimento de um arco circular através de séries infinitas, usadas para achar o limite da soma das $2^n$ cordas iguais inscritas subtendidas pelos arcos bisseccionados sucessivamente.

[Figura $1$]

O termo yenri pode ser traduzido como "princípio do círculo" ou "teoria do círculo". O nome vem do fato de que a mensuração do círculo é o primeiro assunto a ser tratado. Pode ter sido originado do trabalho do matemático chinês Li Yeh (1192-1279) em sua obra Tsê-yüan Hai-ching que trata de medições do círculo, incluindo o uso de um símbolo para números negativos. Apesar de tudo, Seki nunca escreveu sobre o trabalho de Li Yeh e por isso é tradicionalmente atribuído a Seki as descobertas sobre o yenri.

Após o tempo de Seki surgiram inúmeras obras sobre a medição numérica do círculo, como as de Taisei Sankyo, supostamente escrita por Takebe Kenko (1664-1739). Takebe foi aluno preferido de Seki e foi responsável por disseminar seus trabalhos. Em 1706 aceitou um cargo no departamento de cerimônias no Shogunato Tokugawa e em 1719 Takebe concluiu um novo mapa do Japão que foi altamente valorizado pela riqueza de detalhes.

Dos possíveis 43 livros escritos por Takebe, apenas 20 chegaram até nós e há histórias de ter havido mais três livros, embora pareça relacionar Seki intimamente com este trabalho, no entanto, não há evidências concretas para corroborar tal afirmação, já que não se sabe o paradeiro desses três livros e não há evidências nos seus 20 livros que comprove isso.

Takebe também publicou um trabalho sobre yenri em 1722. Para ilustrar o método, considere a figura 1. Takebe começa inscrevendo cordas iguais num arco de círculo, sendo o número de cordas uma potência de 2. Para $N=2$ há $2^N=4$ cordas inscritas. Então, por meio de uma relação recursiva, dando o comprimento de uma corda do conjunto de $2^{N+1}$ cordas em função do comprimento de uma corda do conjunto precedente de $2^{N}$ cordas, acha-se o limite do quadrado da soma das semicordas chegando à fórmula:

\begin{equation}
\left (\frac{1}{2}a \right)^2=dS \left[1+\sum _1^{\infty}\frac{2^{N+1}(N!)^2}{(2N+2)!}\cdot\left(\frac{S}{d}\right)^N \right]
\end{equation}

onde $d$ é o diâmetro e $S$ é a sagita (altura) do segmento do arco dado $AB$. Na publicação original a série aparecia escrita em notações mais antiga, de uma maneira muito obscura, usando casos numéricos para determinar coeficientes em muitas das relações, que segundo alguns estudiosos do assunto, entendem que não foi Takebe quem criou a série acima. Acredita-se que ele talvez a tenha obtido a partir da leitura de um trabalho publicado em cerca de 1713 pelo escritor chinês Mei, que incluiu nele algumas séries trazidas da China, em $1700$ pelo missionário jesuíta Pierre Jartoux. Sabe-se que Jartoux mantinha correspondência com Leibniz.

Takebe também estava interessado em aproximar o valor de $\pi$ pelo cálculo dos perímetros dos polígonos regulares de $2^N$ lados inscritos num círculo de diâmetro unitário. Um curioso aspecto desse trabalho é determinar como perímetros $a$, $b$ e $c$ dos polígonos de $2^{15}$, $2^{16}$ e $2^{17}$ lados, os seguintes valores:

\begin{matrix}
a \approx 3,1415926487769856708\\
b \approx 3,1415926523865913571\\
c \approx 3,1415926532889927759\\
\end{matrix}

Então, para obter uma aproximação ainda melhor de $\pi$, Takebe usava a seguinte fórmula, sem explicações ou demonstrações:

\begin{equation}
p=b+\frac{(b-a)(c-b)}{(b-a)-(c-b)}
\end{equation}

alegando que $p$ fornecia uma aproximação para $\pi$ melhor que os valores anteriores de $a$, $b$ e $c$. Nesse caso particular, os valores acima para $a$, $b$ e $c$ aplicado na fórmula $(2)$ efetivamente dá uma aproximação mais precisa:

$$p \approx 3,14159265358979$$

Takebe declarou ter estimado $\pi$ em $41$ casas decimais por aplicações repetidas da fórmulas dada em $(2)$.

Referências:

• A History of Japanese Mathematics - Smith & Mikami
• Tópicos de História da Matemática - Cálculo - Carl Boyer

Veja mais: 

• Panorama da História do Cálculo
• Uma Breve Cronologia de $\pi$
• Teste da integral para convergências de séries