Os Pontos de Brocard (Parte 3)

Vimos na primeira postagem desta série sobre os Pontos de Brocard as definições e suas construções geométricas. Na segunda postagem, vimos algumas propriedades importantes, teoremas e corolários. Nesta terceira parte, veremos outros teoremas igualmente interessantes.

Por: Kleber Kilhian e Paulo Sérgio C. Lino

Teorema 3:

Em um triângulo $(T)=A_1A_2A_3$, de ângulos internos $\alpha_1$, $\alpha_2$ e $\alpha_3$, respectivamente, contendo o ponto $\Omega$, existe o ângulo $\omega$ de modo que vale a relação:

$$ \cot(\omega)=\frac{a_1^2+a_2^2+a_3^2}{4\Delta} $$

onde $\Delta$ é a área do triângulo $(T)=A_1A_2A_3$.

Demonstração:

Note que:

\begin{equation} \Delta=\frac{1}{2} a_2a_3 \text{sen}(\alpha_1) \end{equation}

Figura 10

Pela lei dos cossenos, temos que:

\begin{equation} a_1^2 = a_2^2+a_3^2-2a_2 a_3 \cos(\alpha_1) \Rightarrow a_2a_3 \cos(\alpha_1) = a_2^2 + a_3^2 - a_1^2 \end{equation}

De $(1)$ e $(2)$, temos que:

$$ 4\cot(\alpha_1)=\frac{2a_2a_3\cos(\alpha_1)}{\frac{1}{2}a_2a_3\text{sen}(\alpha_1)}=\frac{a_2^2+a_3^2-a_1^2}{\Delta} $$ \begin{equation} \cot(\alpha_1)=\frac{-a_1^2+a_2^2+a_3^2}{4\Delta} \end{equation}

Por simetria, temos:

\begin{equation} \cot(\alpha_2)=\frac{a_1^2-a_2^2+a_3^2}{4\Delta} \end{equation}

e

\begin{equation} \cot(\alpha_3)=\frac{a_1^2+a_2^2-a_3^2}{4\Delta} \end{equation}

Substituindo $(3)$, $(4)$ e $(5)$ na equação:

$$ \cot(\omega)=\cot(\alpha_1)+\cot(\alpha_2)+\cot(\alpha_3) $$

(para maiores detalhes veja a parte 2 sobre os pontos de Brocard), segue que:

$$ \cot(\omega)=\frac{\left(-a_1^2+a_2^2+a_3^2\right)+\left(a_1^2-a_2^2+a_3^2\right)+\left(a_1^2+a_2^2-a_3^2\right)}{4\Delta} $$ \begin{equation} \cot(\omega)=\frac{a_1^2+a_2^2+a_3^2}{4\Delta} \end{equation}

Teorema 4:

Em um triângulo $(T)=A_1A_2A_3$, de ângulos internos $\alpha_1$, $\alpha_2$ e $\alpha_3$ e lados opostos $a_1$, $a_2$ e $a_3$, respectivamente, contendo o ponto $\Omega$, existe o ângulo $\omega$ tal que:

$$ 0 < \omega \leq \frac{\pi}{6} $$

Demonstração:

Já vimos na postagem anterior que:

$$ \frac{\text{sen}(\alpha_1-\omega)}{\text{sen}(\alpha_1) \cdot \text{sen}(\omega)}=\cot(\omega)-\cot(\alpha_1) $$

Substituindo $\omega$ por $-\omega$, obtemos:

$$ \frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\alpha_1) \cdot \text{sen}(-\omega)}=\frac{\cos(-\omega)}{\text{sen}(-\omega)}-\cot(\alpha_1) $$ $$ -\frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\alpha_1)\cdot \text{sen}(\omega)}=-\frac{\cos(\omega)}{\text{sen}(\omega)}-\cot(\alpha_1) $$ $$ \frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)}=\text{sen}(\alpha_1)\cot(\omega)+\cos(\alpha_1) $$ $$ \frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)}=\text{sen}(\alpha_1)\left[\cot(\alpha_1)+\cot(\alpha_2)+\cot(\alpha_3)\right]+\cos(\alpha_1) $$ $$ \frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)}=\cos(\alpha_1)+\text{sen}(\alpha_1)\frac{\cos(\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_2)}+\text{sen}(\alpha_1)\frac{\cos(\alpha_3)}{\text{sen}(\alpha_3)}+\cos(\alpha_1) $$ $$ \frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)}=\frac{\text{sen}(\alpha_2)\cos(\alpha_1)+\text{sen}(\alpha_1)\cos(\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_2)}+\frac{\text{sen}(\alpha_1)\cos(\alpha_3)+\text{sen}(\alpha_3)\cos(\alpha_1)}{\text{sen}(\alpha_3)} $$ $$ \frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)}=\frac{\text{sen}(\alpha_1+\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_2)}+\frac{\text{sen}(\alpha_1+\alpha_3)}{\text{sen}(\alpha_3)} $$

Mas, $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=\pi$, de modo que:

\begin{equation} \text{sen}(\alpha_1+\alpha_2)=\text{sen}(\pi-\alpha_3)=\text{sen}(\alpha_3) \end{equation}

e

$$ \text{sen}(\alpha_1+\alpha_3)=\text{sen}(\pi-\alpha_2)=\text{sen}(\alpha_2) $$

Assim:

$$ \frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)}=\frac{\text{sen}(\alpha_3)}{\text{sen}(\alpha_2)}+\frac{\text{sen}(\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_3)} $$

Pela lei dos senos no triângulo $(T)=A_1A_2A_3$, sabemos que:

$$ \frac{\text{sen}(\alpha_2)}{a_2}=\frac{\text{sen}(\alpha_3)}{a_3} \Rightarrow \frac{\text{sen}(\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_3)}=\frac{a_2}{a_3} $$

e pela desigualdade aritmética-geométrica, segue que:

$$ \frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)}=\frac{a_3}{a_2}+\frac{a_2}{a_3} $$ $$ \frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)}=2\cdot \frac{\frac{a_3}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}}{2} $$ $$ \frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)} \geq 2\cdot \sqrt{\frac{a_3}{a_2}\cdot \frac{a_2}{a_3}}=2 $$

Isto mostra que:

$$ \frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)} \geq 2 $$

e a igualdade é válida se e somente se $a_2=a_3$. Consequentemente:

$$ 2\text{sen}(\omega) \leq \text{sen}(\alpha_1+\omega) \leq 1 \Rightarrow $$ $$ 0 < \text{sen}(\omega) \leq \frac{1}{2} \Rightarrow $$ $$ 0 < \omega \leq \frac{\pi}{6} $$

e $\omega = \dfrac{\pi}{6}$ se e somente se $(T)$ for um triângulo equilátero.

Veja mais:

• Os Pontos de Brocard (Parte 1)
• Os Pontos de Brocard (Parte 2)
• Pontos Notáveis de um Triângulo