04/04/2013

Integral de $1/(1+x^2)^2dx$


Considere a integral:
$$\int \left ( \frac{1}{1+x^2} \right )^2$$
Para resolvê-la, utilizamos uma substiruição trigonométrica, fazendo:
\begin{matrix}
x&=&\tan(u)\\
dx&=&\sec^2(u)du\\
\end{matrix}
Assim temos:
\begin{equation}
\int \frac{1}{\left (1+\tan^2(u)\right)^2} \sec^2(u)du
\end{equation}
Usando a identidade trigonométrica:
\begin{equation}
1+\tan^2(u)=\sec^2(u)
\end{equation}
Substituindo $(2)$ em $(1)$, obtemos:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\int \frac{1}{\left (\sec^2(u)\right )^2}\cdot \sec^2 (u)du\\
\int \frac{1}{\left (\sec^2(u)\right )}du\\
\end{matrix}
\end{equation}
Mas:
\begin{equation}
\frac{1}{\sec^2(u)}=\cos^2(u)
\end{equation}
Assim:
$$\int \cos^2(u)du$$
Escrevemos $\cos^2(u)$ como $\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \cos(2u)+1 \right )$:
\begin{equation}
\frac{1}{2} \int1+\cos(2u)du
\end{equation}
Agora já podemos integrar. Lembrando que $\displaystyle \int \cos (nu)=\frac{1}{n} \text{sen}(nu)+C$, assim:
\begin{equation}
\begin{matrix}
I=\frac{1}{2}\left [u+\frac{1}{2}\text{sen}(2u)\right ]+C\\
I=\frac{1}{2}u+\frac{1}{4}\text{sen}(2u)+C\\
\end{matrix}
\end{equation}
Usamos a identidade do arco duplo:
$$\text{sen}(2u)=2\text{sen}(u)\cos(u)$$
De modo que:
\begin{equation}
\begin{matrix}
I=\frac{1}{2}u+1\frac{1}{4}\left ( 2\text{sen}(u)\cos(u)\right )+C\\
I=\frac{1}{2}u+\frac{1}{2}\text{sen}(u)\cos(u)+C\\
\end{matrix}
\end{equation}
Agora, reentroduzimos a variável $x$. Lembrando que $x=\tan(u)$, assim $u=\arctan(x)$. Mas, como a tangente é igual ao cateto oposto dividido pelo cateto adjacente, temos as relações:
$$\tan(u)=\frac{x}{1}$$
Assim, o cateto oposto é igual a $x$ e o cateto adjacente é igual a $1$, de modo que a hipotenusa do triângulo retângulo equivale a:
$$H=\sqrt{x^2+1}$$
Destes resultados, segue que:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\text{sen}(u)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\\
\text{e}\\
\cos(u)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\\
\end{matrix}
\end{equation}
Substituindo as relações obtidas em $(7)$ na relação $(8)$, obtemos:
\begin{equation}
\begin{matrix}
I=\frac{1}{2}\arctan (x)+\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+C\\
I=\frac{1}{2}\arctan (x)+\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{x^2+1}+C\\
I=\frac{1}{2} \left( \arctan (x)+\frac{x}{x^2+1}\right ) +C\\
\end{matrix}
\end{equation}

Veja mais: 

Integral de $\cos^2(x)$
Integral por Substituição Trigonométrica
Identidade Trigonométrica do Arco Duplo

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2 comentários:

  1. Olá Kleber...

    Cara é incrível a facilidade com que você mostra as mais variadas questões para nós leitores... Não entendo muito ainda de derivadas e integral, só vou ver isso agora na cadeira de cálculo I que vai abrir essa semana pra mim, mas tirando isso deu pra compreender perfeitamente os demais processos matemáticos do início ao fim da resolução... Muito boa mesmo sua publicação Kleber, parabéns...

    Sei que sempre posso encontrar coisas novas e interessantes aqui no seu blog... Um grande abraço e até breve...

    Att. Romirys Cavalcante...

    ResponderExcluir
  2. Olá Romirys!

    Esta não é uma integral muito fácil de resolver, foge do trivial, pois usa substituição trigonométrica, além de termos conhecimento prévio sobre algumas identidades trigonométricas. Procuro sempre ser o mais didático possível. Que bom que gostou e entendeu a resolução.

    Um abraço!

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