Projeção ortogonal de um segmento de reta sobre um plano

Em geometria descritiva, uma projeção é a representação de um objeto em um plano, utilizando retas que projetam todos os pontos do objeto no plano. Ou seja, é a imagem formada no plano pelos pés dos segmentos de retas ortogonais que ligam cada ponto do objeto ao plano.

1) Projeção de um ponto

Definição 1:Chama-se projeção ortogonal de um ponto $P$ sobre um plano $\alpha$ o pé da perpendicular ao plano conduzida pelo ponto. O plano $\alpha$ é chamado de plano de projeção e a reta perpendicular é chamada de projetante do ponto.

[Figura 1]

Assim, representamos a projeção no ponto

$P$ como

$P'$ contida no plano de projeção, simbolizada por

$P'=\text{proj}_\alpha P$ .

2) Projeção de figuras

Definição 2: Chama-se projeção ortogonal de uma figura $F$ sobre um plano $\alpha$ o cpnjunto das projeções ortogonais dos pontos que compõem esta figura.

[Figura 2]

Assim, simbolizamos a figura projetada por

$F'=\text{proj}_\alpha F$ .

3) Projeção de uma reta

De acordo com as duas definições anteriores, temos que:

$a)$ Se a reta

$r$ é perpendicular ao plano

$\alpha$ , sua projeção ortogonal sobre o plano é o traço da reta no plano.

[Figura 3]

Assim,

$P=\text{proj}_\alpha r$ .

$b)$ Se a reta for não-perpendicular ao plano

$\alpha$ , temos a particular definição:

Definição 3: Chama-se projeção ortogonal de uma reta $r$ não-perpendicular ao plano $\alpha$ , o traço em $\alpha$ do plano $\beta$ que contém $r$ , perpendicular a $\alpha$ , conduzida por $r$ .

[Figura 4]

Assim, temos que

$r'=\text{proj}_\alpha r$ , de modo que

$\alpha$ é o plano de projeção e

$\beta$ é o plano projetantes de

$r$ .

4) Projeção de um Segmento de Reta

Definição 4: Chama-se projeção ortogonal sobre um plano $\alpha$ de um segmento $\overline{AB}$ , contido numa reta não-perpendicular a $\alpha$ , o segmento $\overline{A'B'}$ , onde $A'=\text{proj}_\alpha$ e $B'=\text{proj}_\beta$ .

[Figura 5]

Teorema 1:

A projeção ortogonal de um segmento oblíquo a um plano, sobre esse plano, é menor que o segmento.

Por hipótese, temos que o segmento

$\overline{AB}$ é oblíquo ao plano

$\alpha$ . Logo, sua projeção

$\overline{A'B'}=\text{proj}_\alpha \overline{AB}$ . Em tese, temos que a projeção

$\overline{A'B'}$ é menor que o segmento

$\overline{AB}$ .

[Figura 6]

Demonstração:

Conduzimos por

$A$ uma reta paralela ao segmento

$\overline{A'B'}$ , interceptando a reta projetante de

$B$ em

$B''$

Temos que

$AA'B'B''$ é um retângulo. Então,

$\overline{A'B'}=\overline{AB''}$ . Já o triângulo

$AB''B$ é retângulo em

$B''$ , então

$\overline{AB''}<\overline{AB}$ , já que

$\overline{AB}$ é a hipotenusa deste triângulo. Assim,

$\overline{A'B'}<\overline{AB}$ .

[Figura 7]

Se uma das extremidades, por exemplo

$A$ , pertencer ao plano de projeção, temos que o triângulo

$AB'B$ é retângulo em

$B'$ e então

$\overline{AB'}<\overline{AB} \Rightarrow \overline{A'B'}<\overline{AB}$ .

O comprimento da projeção de um segmento não-perpendicular ao plano de projeção será sempre menor que o segmento dado e pode ser calculado se soubermos o comprimento do segmento e o ângulo de sua inclinação em relação ao plano de projeção.

[Figura 8]

Da trigonometria sabemos que:

$\begin{equation*} \cos(\theta)=\frac{\overline{AB'}}{\overline{AB}}=\frac{r'}{r} \end{equation*}$

Logo:

$\begin{equation*} r'=r\cos(\theta) \end{equation*}$

Exemplo 1:

Um segmento

$\overline{AB}$ de comprimento igual a

$2u.c.$ (unidades de comprimento), está inclinado a

$30^\circ$ em relação ao plano de sua projeção, sendo que os pontos

$A$ e

$B$ não-pertencentes a este plano. Determinar o comprimento da projeção do segmento.

[Figura 9]

Aplicando a fórmula

$r'=r\cos(\theta)$ , obtemos:

$\begin{matrix} r'=2 \cdot \cos(30^\circ)\\ r'=2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\\ r'=\sqrt{3} u.c. \end{matrix}$
o que faz sentido, já que

$r'<r$ .

Podemos reunir 7 propriedades importantes:

A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é um ponto.
A projeção ortogonal de um segmento oblíquo a um plano, sobre o plano, é sempre menor que o segmento.
A projeção ortogonal sobre um plano, de um segmento contido numa reta não-perpendicular ao plano é menor que o segmento ou congruente a ele.
Se um segmento tem projeção ortogonal congruente a ele, então ele é paralelo ao plano de projeção ou está contido nele.
Duas retas paralelas não-perpendiculares ao plano de projeção têm projeções paralelas.
Se os planos projetantes de duas retas não-perpendiculares ao plano de projeção são paralelos, então as projeções dessas retas são paralelas.
Se dois planos são perpendiculares entre si, as projeções dos pontos de um deles sobre o outro é o traço dos planos.

Referências:

Fundamentos de Matemática Elementar V10 - Geometria Espacial - Posição e Métrica - Osvaldo Dolce & José Nicolau Pompeo

03/12/2013

Projeção ortogonal de um segmento de reta sobre um plano

1) Projeção de um ponto

2) Projeção de figuras

3) Projeção de uma reta