Razão de Secção

Consideremos três pontos: $A(x_a,y_a)$, $B(x_b,y_b)$ e $C(x_c,y_c)$, pertencentes a uma mesma reta $r$, oblíqua aos eixos $x$ e $y$ e ainda sendo $B$ e $C$ distintos.

Definição:

A razão $k$ das medidas algébricas de $\overline{AC}$ e $\overline{CB}$ é chamada de razão de secção de $\overline{AB}$ pelo ponto $C$ e é dada por:
$$\begin{equation} k=\frac{\overline{AC}}{\overline{CB}},\: C \not\equiv A : \text{e} \: C\not\equiv B \end{equation}$$
Dados dois pontos $A$ e $B$ em uma reta $r$, um ponto $C$ pertencente a $r$ pode dividir o segmento $\overline{AB}$ de duas formas diferentes.

$1º)$ O ponto $C$ está entre os pontos $A$ e $B$.

[figura 1]

Analisando a figura acima e aplicando o Teorema de Tales, obtemos as relações:
$$\begin{equation} k=\frac{\overline{AC}}{\overline{CB}}=\frac{x_c-x_a}{x_b-x_c}=\frac{y_c-y_a}{y_b-y_c}, \: x_b \neq x_c \: \text{e} \: y_b \neq y_c \end{equation}$$
Notamos que se o ponto $C$ estiver entre$A$ e $B$, obteremos $k$ sempre positivo, pois:
$$\begin{equation} \left.\begin{matrix} x_c>x_a \Rightarrow x_c-x_a>0\\ x_b>x_c \Rightarrow x_b-x_c>0 \end{matrix}\right\} \Rightarrow k>0 \end{equation}$$

$2º)$ O ponto $C$ não está entre os pontos $A$ e $B$.

Neste caso, pode ocorrer duas situações:

[Figura 2]

Apesar do ponto $C$ estar antes do ponto $A$ ou depois do ponto $B$, para estas duas possibilidades, temos:
$$\begin{equation} k=\frac{\overline{AC}}{\overline{CB}}=\frac{x_c-x_a}{x_b-x_c}=\frac{y_c-y_a}{y_b-y_c} \end{equation}$$
Na primeira situação temos que:
$$\begin{equation} \left.\begin{matrix} x_c>x_a \Rightarrow x_c-x_a>0\\ x_b<x_c \Rightarrow x_b-x_c<0 \end{matrix}\right\} \Rightarrow k<0 \end{equation}$$

Na segunda situação temos que:
$$\begin{equation} \left.\begin{matrix} x_c<x_a \Rightarrow x_c-x_a<0\\ x_b>x_c \Rightarrow x_b-x_c>0 \end{matrix}\right\} \Rightarrow k<0 \end{equation}$$
Quando $C$ não estiver entre $A$ e $B$, obteremos $k$ sempre negativo.

Notamos que quando $C \not\equiv A$, $\overline{AC}=0$ e consequentemente $k=0$.

Resumindo:

$\bullet$ Quando $C$ está entre $A$ e $B$, temos $k>0$;
$\bullet$ Quando $C$ não está entre $A$ e $B$, temos $k<0$;
$\bullet$ Quando $C\not\equiv A$, temos $k=0$.

Podemos ainda encontrar a abscissa de $C$ em função de $k$ e das abscissas de $A$ e $B$. Para isso isolamos $x_a$ na relação $(2)$:
$$\begin{equation} \begin{matrix} k=\frac{x_c-x_a}{x_b-x_c}\\ k(x_b-x_c)=x_c-x_a\\ kx_b-kx_c=x_c-x_a\\ x_c+kx_x=x_a+kx_b\\ x_c(1+k)=x_a+kx_b\\ x_c=\frac{x_a+kx_b}{1+k},\: \forall k\neq -1 \end{matrix} \end{equation}$$
Analogamente, podemos encontrar a ordenada de $C$ em função de $k$ e das ordenadas de $A$e $B$, obtendo:
$$\begin{equation} y_c=\frac{y_a+ky_b}{1+k}, \: \forall k\neq -1 \end{equation}$$

Exemplo $1$: Dados os pontos $A(-3,1)$ e $B(3,-5)$, determinar o ponto $C$ que divide o segmento $\overline{AB}$nas razões: $a)$ $k=2$ e $b)$ $k=-1/3$.

Resolução:

$a)$ Como conhecemos as coordenadas de $A$ e $B$ e o valor de $k$, basta substituirmos esses valores nas fórmulas $(7)$ e $(8)$:
$$\begin{equation*} \left\{\begin{matrix} x_c &=&\frac{x_a+kx_b}{1+k}&=&\frac{-3+2\cdot 3}{1+2}&=&1 \\ \:\\ y_c &=&\frac{y_a+ky_b}{1+k}&=&\frac{1+2(-5)}{1+2}&=&-3 \end{matrix}\right. \end{equation*}$$
Portanto, o ponto procurado é $C(1,-3)$.

$b)$ Como conhecemos as coordenadas de $A$ e $B$ e o valor de $k$, basta substituirmos esses valores nas fórmulas $(7)$ e $(8)$:
$$\begin{equation*} \left\{\begin{matrix} x_{c'} &=&\frac{x_a+kx_b}{1+k}&=&\frac{-3+(-1/3)\cdot 3}{1+(-1/3)}&=&-6 \\ \:\\ y_{c'} &=&\frac{y_a+ky_b}{1+k}&=&\frac{1+(-1/3)(-5)}{1+(-1/3)}&=&4 \end{matrix}\right. \end{equation*}$$
Portanto, o ponto procurado é $C'(-6,4)$.

Exemplo $2$: Dados os pontos $A(1,2)$ e $C(2,6)$ sobre uma reta $r$, determinar as coordenadas do ponto $B$ sobre a reta $r$, tal que $\overline{AB}=2 \overline{BC}$.

Resolução:
$$\begin{matrix} x_b-x_a=2(x_c-x_b)\\ x_b-x_a=2x_c-2x_b\\ 3x_b=2x_c+x_a\\ 3x_b=2\cdot 2+1\\ 3x_b=5\\ x_b=\frac{5}{3} \end{matrix}$$

Analogamente, encontramos a coordenada $y_b$:
$$\begin{matrix} y_b-y_a=2(y_c-y_b)\\ y_b-y_a=2y_c-2y_b\\ 3y_b=2x_c+y_a\\ 3y_b=2\cdot 6+2\\ 3y_b=14\\ y_b=\frac{14}{3} \end{matrix}$$
Portanto, o ponto procurado é $\displaystyle B\left(\frac{5}{3}, \frac{14}{3}\right)$.

Referências:

[1] Matemática - Facchini

Veja mais:

➊ Distância de um Ponto a uma Reta 
➋ Distância Entre Dois Pontos no Plano
➌ Teorema da Base Média de um Triângulo