Toda matriz quadrada, de qualquer ordem, tem associada a ela um número chamado determinante da matriz.
Existem alguns métodos para calcular o determinante de uma matriz, como por exemplo a Regra de Sarrus e o Teorema de Laplace utilizando a Matriz de Cofatores.
A Regra de Chió é muito prática se o elemento a11 da matriz for
igual a 1, o que nos permite calcular o determinante de uma matriz de
ordem n usando uma matriz de ordem n−1.
Dada uma matriz quadrada de ordem n sendo a11=1:
[a11a12a13⋯a1na21a22a23⋯a2na31a32a33⋯a3n⋮⋮⋮⋱⋮an1an2an3⋯ann]
obtemos uma matriz de ordem n−1 fazendo:
[a22−(a12⋅a21)a23−(a13⋅a21)⋯a2n−(a1n⋅a21)a32−(a12⋅a31)a33−(a13⋅a31)⋯a3n−(a1n⋅a31)⋮⋮⋱⋮an2−(a12⋅an1)an3−(a13⋅an1)⋯ann−(a1n⋅an1)]Exemplo 1:
Seja M a matriz quadrada de ordem 4. Calcular o determinante usando a Regra de Chió.
M=[120−113694120−223−4] Como o elemento a11=1, então fazemos:
detM=|120−113694120−223−4|detM=|3−(2⋅1)6−(0⋅1)9−((−1)⋅1)1−(2⋅4)2−(0⋅4)0−((−1)⋅4)2−(2⋅(−2))3−(0⋅(−2))−4−((−1)⋅(−2))|detM=|1610−72463−6|
Aqui poderíamos aplicar a Regra de Sarrus, mas vamos aplicar novamente a Regra de Chió, já que o elemento a11=1 e assim obteremos um determinante a partir de uma matriz de ordem 2, resolvido rapidamente.
detM=|1610−72463−6|detM=|2−(6⋅(−7))4−(10⋅(−7))3−(6⋅(6))−6−(10⋅(6))| detM=|4474−33−66|detM=(44⋅(−66))−(74⋅(−33))=−462
Assim, o determinante da matriz M é igual a −462.
Observações:
1) Se o elemento a11≠1 e existir algum elemento da matriz que seja igual a 1, então podemos obter uma matriz equivalente trocando a posição de duas filas (colunas ou linhas).
Ao trocarmos de posição duas filas de uma matriz, o determinante da nova matriz é o oposto do determinante da matriz anterior, ou seja, tem o sinal trocado.
Por exemplo: seja a matriz:
A=[320−123694120−223−1]
O determinante da matriz A será dado por:
detA=|320−123694120−223−1|
Trocando a primeira linha pela terceira, obtemos:
detA=−|41202369320−1−223−1|
E agora trocamos a primeira coluna pela segunda:
detA=|14203269230−12−23−1|
Vejam que o sinal do determinante passou de + para − e depois para +.
2) Se o elemento a11≠1 e n]ao houver qualquer elemento da matriz igual a 1, podemos criar elementos igual a 1 na matriz usando o Teorema de Jacobi que essencialmente diz que o determinante de uma matriz quadrada não se altera se adicionarmos aos elementos de uma fila qualquer, os elementos correspondentes de outra fila paralela previamente multiplicada por uma constante.
Por exemplo: Seja a matriz:
A=[320−123694520−223−4]
O determinante da matriz A será dado por:
detA=|320−123694520−223−4|
Como não há um elemento da matriz igual a 1, vamos criá-lo multiplicando a segunda linha por −1 e somá-la à primeira:
detA=|320−123694520−223−4|⟵+↫⟶×(−1) =|1−1−6−1023694520−223−4|
Ao calcularmos o determinante da matriz equivalente, veremos que é igual ao determinante da matriz original.
3) Se o elemento a11≠1 e não houver outro elemento igual a 1 na matriz, podemos criar elementos igual a 1 na matriz colocando um fator k comum a uma fila em evidência, pois se todos os elementos de uma fila de uma matriz quadrada são multiplicados por um mesmo número k, então seu determinante fica multiplicado por k.
Por exemplo: Seja a matriz:
A=[24−210604−410]
O determinante da matriz A será dado por:
detA=|24−210604−410|=2|12−110604−410|Exemplo 2:
Encontrar o determinante da matriz quadrada de ordem 5 abaixo:
M=[2−1032−2320−2−32−1−54−132−2004−2−13]
Nesta matriz, o elemento a11≠1 e não há nenhum outro elemento da matriz que seja igual a 1. Para que o elemento a11 seja igual a 1, multiplicamos a segunda coluna por 1 e somamos o resultado com a primeira coluna:
detM=|2−1032−2320−2−32−1−54−132−2004−2−13|=|1−10321320−2−12−1−54232−2044−2−13|Agora, podemos aplicar a Regra de Chió:
detM=|1−10321320−2−12−1−54232−2044−2−13|=|3−(−1⋅1)2−(0⋅1)0−(3⋅1)−2−(2⋅1)2−(−1⋅(−1))−1−(0⋅(−1))−5−(3⋅(−1))4−(2⋅(−1))3−(−1⋅2)2−(0⋅2)−2−(3⋅2)0−(2⋅2)4−(−1⋅4)−2−(0⋅4)−1−(3⋅4)3−(2⋅4)|=|42−3−41−1−2652−8−48−2−13−5|
Agora, trocamos a segunda linha pela primeira e aplicamos a Regra de Chió novamente. Como estaremos trocando apenas um linha, não podemos nos esquecer de trocar o sinal do determinante:
detM=−|1−1−2642−3−452−8−48−2−13−5|=−|2−(−1⋅4)−3−(−2⋅4)−4−(6⋅4)2−(−1⋅5)−8−(−2⋅5)−4−(6⋅5)−2−(−1⋅8)−13−(−2⋅8)−5−(6⋅8)|=−|65−2872−3463−53|
Aqui, podemos aplicar a Regra de Sarrus ou ainda aplica a Regra de Chió novamente. Primeiramente trocamos a segunda linha pela primeira, já trocando o sinal do determinante:
detM=|72−3465−2863−53|
Agora, multiplicamos a segunda linha por −1 e somamos o resultado à primeira linha:
detM=|1−3−665−2863−53|Agora que o elemento a11=1, aplicamos a Regra de Chió:
detM=|1−3−665−2863−53|detM=|5−(−3⋅6)−28−(−6⋅6)3−(−3⋅6)−53−(−6⋅6)|detM=|23821−17|detM=(23⋅(−17))−(21⋅8)=−559
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Referências:
- Matemática, Contexto & Aplicações V2 - Dante - Editora Ática
Veja mais:
- Matrizes e o controle de tráfego
- O Método de Castilho para resolução de sistemas lineares
- Sistemas lineares e determinantes: Origens e desenvolvimento
Eu vi uma versão da regra de Chiò que funciona com o +1 em qualquer posição da matriz e uma vez procurei se havia um artifício para se usar a regra com o -1 ao invés de +1 na posição-chave.
ResponderExcluirComo isso faz muito tempo e tenho anotação nenhuma não sei o que concluí na época.
Este comentário é apenas para despertar a curiosidade em algum leitor e o mesmo testar estas duas novas possibilidades, caso haja ou não haja algum jeito. Novas possibilidades?
Boa sorte a todos!
Boa noite Anõnimo!
ExcluirVocê pode me dizer onde encontrou essa versão da Regra de Chió?
Grato,
Marcelo.