A desigualdade de Ptolomeu

Cláudio Ptolomeu foi um grande astrônomo e geômetra grego que viveu no século $I\  \text{d.C.}$. Neste post, provaremos uma desigualdade geométrica muito interessante.

Proposição 1

Dado o quadrilátero $ABCD$, onde $AC$ e $BD$ são as diagonais, então $AC\cdot BD \leq AB\cdot CD + BC\cdot AD$ e a igualdade é válida se e somente se $ABCD$ é um quadrilátero cíclico.

Demonstração

No quadrilátero $ABCD$ acima, seja $E$ um ponto tal que os triângulos $ACD$ e $AEB$ sejam semelhantes. $(A\hat{E}B = A\hat{C}D)$ e $(B\hat{A}E = C\hat{A}D)$. Assim,
\begin{equation*}
\frac{AE}{AC} = \frac{AB}{AD} = \frac{BE}{DC}
\end{equation*}
de modo que
\begin{equation}
EB = \frac{AB\cdot DC}{AD}
\end{equation}
Além disso, sendo $\triangle ACD \sim \triangle AEB$, então $E\hat{A}C = B\hat{A}D$ e sendo $\displaystyle \frac{AD}{AC} = \frac{AB}{AE}$ segue que $\triangle EAC \sim \triangle BAD$.

Assim,
\begin{equation}
\frac{EC}{AC} = \frac{BD}{AD} \quad \Longrightarrow \quad EC = \frac{AC\cdot BD}{AD}
\end{equation}
Agora se $ABCD$ é um quadrilátero cíclico, temos
\begin{equation*}
A\hat{B}E + C\hat{B}A = A\hat{D}C + C\hat{B}A = 180^{\circ}
\end{equation*}
Isto significa que os pontos $C$, $B$ e $E$ são colineares e portanto,
\begin{equation}
EC = EB + BC
\end{equation}
Substituindo $(1)$ e $(2)$ em $(3)$, temos
\begin{equation*}
\frac{AC\cdot BD}{AD} = \frac{AB\cdot DC}{AD} + BC
\end{equation*}
 de modo que
\begin{equation}
AC\cdot BD = AB\cdot CD + BC\cdot AD
\end{equation}
A expressão $(4)$ é conhecida por igualdade de Ptolomeu. Se o quadrilátero $ABCD$ não é cíclico, então
\begin{equation*}
A\hat{B}E + C\hat{B}A = A\hat{D}C + C\hat{B}A \neq 180^{\circ}
\end{equation*}
de modo que os pontos $C$, $B$ e $E$ formam um triângulo e pela desigualdade triangular segue que
\begin{equation}
EC < EB + BC
\end{equation}
Substituindo $(1)$ e $(2)$ em $(5)$, temos:
\begin{equation*}
\frac{AC\cdot BD}{AD} < \frac{AB\cdot DC}{AD} + BC
\end{equation*}
e então:
\begin{equation}
AC\cdot BD < AB\cdot CD + BC\cdot AD
\end{equation}
De $(4)$ e $(6)$, obtemos a desigualdade de Ptolomeu, ou seja,
\begin{equation*}
AC\cdot BD \leq AB\cdot CD + BC\cdot AD
\end{equation*}
e a igualdade é válida se, e somente se, $ABCD$ é cíclico.

* Este artigo é uma republicação. O link do artigo original encontra-se nas referências.

Referências:

[1] A desigualdade de Ptolomeu no blog Fatos Matemáticos, originalmente escrito pelo prof. Paulo Sérgio C. Lino

Veja mais:

Valor absoluto e a desigualdade triangular
A Astronomia e os astrônomos da Grécia Antiga
Teste da integral para convergência de séries