Resolução da integral $\displaystyle \int \frac{1}{ax+b}\ dx$

Nesta postagem veremos que:
\begin{equation*}
\int \frac{1}{ax+b}\ dx = \frac{1}{a}\ln |ax+b| + C
\end{equation*}
onde $a$ e $b$ $\in \mathbb{R}$, sendo $a \neq 0$.

[Família de funções integráveis do tipo $\displaystyle \frac{1}{ax+b}$]

Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \frac{1}{ax+b}\ dx
\end{equation*}
Para o integrando, fazemos a substituição $u=ax+b$. Assim, $du=a\ dx$ e $\displaystyle dx=\frac{1}{a}du$:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a} \int \frac{1}{u}\ du
\end{equation*}
A integral de $\displaystyle \frac{1}{u}$ é $\ln (u)$. Assim:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a} \cdot \ln|u| + C
\end{equation*}
Mas $u=ax+b$, logo:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a} \cdot \ln|ax+b| + C
\end{equation*}

Exemplo:

Encontrar a área entre a curva $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2x+1}$ e o eixo dos $x$, compreendida no intervalo de $[0,1]$.

Para calcularmos a área entre a curva $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2x+1}$ e o eixo dos $x$ nos limites $x=0$ e $x=1$, usamos a integral definida:
\begin{equation*}
A = \int_0^1 \frac{1}{2x+1}\ dx
\end{equation*}
Sabendo que:
\begin{equation*}
\int \frac{1}{ax+b}\ dx = \frac{1}{a} \ln|ax+b|
\end{equation*}
fazemos $a=2$ e $b=1$, obtendo:
\begin{equation*}
A = \left[ \frac{1}{2}\ \ln|2x+1| \right]_0^1\\
\ \\
A = \left[ \frac{1}{2} \ln(3) - \frac{1}{2}\ln (1)\right] \\
\ \\
A \approx 0,54931
\end{equation*}
Assim, a área compreendida entre a curva $f(x)$ e o eixo dos $x$ no limite $[0,1]$ vale aproximadamente $0,54931$ unidades de área.

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