21/07/2016

Diferenciação implícita com exercícios resolvidos

A diferenciação implícita permite-nos encontrar a derivada de uma equação sem que esta esteja resolvida para $y$, mas principalmente quando isolar $y$ é muito trabalhoso, ou mesmo impossível.

Para uma equação tal como $y=x^2-3x+5$, que já está resolvida para $y$ em função de $x$, dizemos que $y$ está expresso diretamente, ou explicitamente em termos de $x$. Já uma equação tal como $xy+4=3x-y$, apesar de poder ser resolvida para $y$ em função de $x$, apresenta $y$ implicitamente como uma função ou mais de $x$.

Diferenciação implícita com exercícios resolvidos


Definição:

Uma função contínua num intervalo aberto é dita ser implícita numa equação onde figurem as variáveis $x$ e $y$, contanto que, quando $y$ é substituído por $f(x)$, a equação resultante seja verdadeira para todos os valores de $x$ no domínio de $f$.

Diferenciação implícita:

Dada uma equação na qual se estabelece $y$ implicitamente como uma função diferenciável de $x$, para calcularmos $dy / dx$, seguimos os passos:

  • Derivando ambos os membros da equação em relação a $x$, aplicando o operador $\cfrac{d}{dx}$ aos dois membros da equação, termo a termo.
  • Considere que $y$ seja uma função de $x$.
  • Utilize a regra da cadeia, do produto e quociente quando necessário para derivar as expressões nas quais figure $y$.
  • O resultado será uma equação onde figure não somente $x$ e $y$, mas também $dy/dx$.
  • Resolva a equação para obter a derivada $dy/dx$.

Quando realizamos uma diferenciação implícita o resultado é frequentemente uma equação que fornece $dy/dx$ em função de $x$ e $y$. Para calcular o valor numérico de $dy/dx$ é necessário conhecer o valor numérico de $y$, além do valor numérico de $x$.

O processo para diferenciação implícita pode apenas ser usado legitimamente se é conhecida a equação em questão que realmente determine $y$ implicitamente como uma função deiferenciável de $x$.

Exemplo 1:

Como um primeiro exemplo, vamos tomar a equação $x+y-3=x^2$ que apesar de poder facilmente ser resolvida para $y$, vamos aplicar a diferenciação implícita a fim de ilustrar o conceito.

Iniciamos aplicando o operador $\cfrac{d}{dx}$ a ambos os membros da equação:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\left(x+y-3\right) = \frac{d}{dx} \left(x^2\right)
\end{equation*}
e em seguida, aplicamos o operador $\cfrac{d}{dx}$ termo a termo:
\begin{equation*}
\cfrac{d}{dx}\left( x \right) + \frac{d}{dx} \left( y \right) - \frac{d}{dx} \left( 3 \right) = \frac{d}{dx} \left( x^2 \right)
\end{equation*}
A derivada de $x$ é $1$. A derivada de $y$ nós não sabemos e mantemos o operador diferencial $dy/dx$. A derivada da constante $3$ é zero e a derivada de $x^2$ é $2x$. Assim:
\begin{equation*}
1+\frac{dy}{dx}-0=2x
\end{equation*}
Agora, resolvemos a equação para $dy/dx$, obtendo:
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx} = 2x-1
\end{equation*}

Exemplo 2:

Neste segundo exemplo, tomemos a equação $x^4+y^2=2x$. Para derivarmos implicitamente, aplicamos o operador diferencial $d/dx$ em ambos os lados da equação:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\left( x^4+y^2 \right) = \frac{d}{dx}\left(2x\right)
\end{equation*}
E derivamos termo a termo:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\left(x^4\right) + \frac{d}{dx} \left(y^2\right) = \frac{d}{dx} \left(2x\right)
\end{equation*}
A derivada de $x^4$ é $4x^3$. A derivada de $y^2$ não sabemos e mantemos o operador diferencial $d/dx$. A derivada de $2x$ é $2$. Assim:
\begin{equation*}
4x^3 + \frac{d}{dx}\left(y^2\right) = 2
\end{equation*}
Temos que nos atentar ao fato de que no caso da diferenciação de $y^2$, estamos derivando em relação a $x$ e não em relação a $y$. Temos que aplicar a regra da cadeia. O que fazemos é derivar $y^2$ como $2y$ e aplicar o operador $d/dx$ justamente por não sabermos a natureza de $y$.

Veja que se hipoteticamente $y=\cos(x)$, então $y^2=\cos^2(x)$ e a derivada de $\left(y^2\right)^\prime = 2\cos(x)\cdot \left(-\text{sen}(x)\right)$ e não somente $2\cos(x)$. Deste modo, continuamos nosso problema escrevendo:
\begin{equation*}
4x^3 + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 2
\end{equation*}
Agora, isolamos $dy/dx$:
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx} = \frac{2-4x^3}{2y} = \frac{1-2x^3}{y}
\end{equation*}

Exemplo 3:

A regra do produto é utilizada quando em um ou mais termos da equação aparece um produto entre as variáveis $x$ e $y$, tal como $xy$. Vamos considerar a equação $3x^2 +y^3+xy=x+1$. Para derivarmos implicitamente, aplicamos o operador diferencial $d/dx$ em ambos os membros da equação:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx} \left(3x^2 + y^3 + xy\right) = \frac{d}{dx} \left(x+1 \right)\\
\ \\
\frac{d}{dx}\left(3x^2 \right) + \frac{d}{dx} \left(y^3 \right) + \frac{d}{dx} \left(xy \right) = \frac{d}{dx} \left(x\right) \frac{d}{dx} \left(1\right)
\end{equation*}
A derivada de $3x^2$ é $6x$. Para a derivada de $y^3$, aplicamos a regra da cadeia, obtendo $\displaystyle 3y^2\left( \frac{d}{dx}~y\right)$. Para a derivada de $xy$, aplicamos a regra do produto, obtendo $\displaystyle 1y + x \frac{dy}{dx}$. A derivada de $x$ é $1$ e da constante $1$ é zero. Assim:
\begin{equation*}
6x +3y^2 \frac{d}{dx}(y) + \left(y+x\frac{dy}{dx}\right) = 1\\
\ \\
6x + 3y^2 \frac{dy}{dx} + y + x\frac{dy}{dx} = 1\\
\ \\
\left(3y^2 + x \right) \frac{dy}{dx} = 1-y-6x\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = \frac{1-y-6x}{3y^2+x}
\end{equation*}

Exemplo 4:

Vamos encontrar a derivada implícita da seguinte equação envolvendo seno e cosseno: 
\begin{equation*}
3x^2y^3+4\ \text{sen}(y)=\cos(x)
\end{equation*}
Iniciamos diferenciando termo a termo ambos os membros da equação:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx} \left(3x^2y^3+4~\text{sen}(y)\right) = \frac{d}{dx} cos(x)\\
\ \\
3\frac{d}{dx}\left(x^2y^3\right) + 4\frac{d}{dx}\left(\text{sen}(y)\right) = \frac{d}{dx} \left(\cos(x)\right)
\end{equation*}
Para derivarmos $x^2y^3$, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia. Já para a derivada de $\text{sen}(y)$, aplicamos a regra da cadeia. E para a derivada de $\cos(x)=-\text{sen}(x)$ . Assim:
\begin{equation*}
3\left[ \frac{d}{dx} \left(x^2\right)\right]y^3+3x^2\left[ \frac{d}{dx}\left( y^3 \right) \right]+4\frac{d}{dx}\left[\text{sen}(y)\right] = \frac{d}{dx}\left[ \cos(x) \right]\\
\ \\
6xy^3 + 9x^2y^2\frac{dy}{dx}+4\cos(y)\frac{dy}{dx} = -\text{sen}(x)\\
\ \\
\left(9x^2y^2+4\cos(y)\right)\frac{dy}{dx} = -\text{sen}(x)-6xy^3\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = \frac{-\text{sen}(x)-6xy^3}{9x^2y^2+4\cos(y)} = -\frac{\text{sen}(x)+6xy^3}{9x^2 y^2+4\cos(y)}
\end{equation*}

Exemplo 5:

Assim como a regra do produto, podemos utilizar a regra do quociente quando em um ou mais termos da equação aparece um quociente entre as variáveis $x$ e $y$, tal como $x/y$. Vamos considerar a equação $x^3+y-\cfrac{2x}{y}=\ln(y)$. Para derivarmos implicitamente, aplicamos o operador diferencial $d/dx$ em ambos os membros da equação:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\left( x^3+y+\frac{2x}{y} \right)=\frac{d}{dx} \left(\ln(y)\right)\\
\ \\
\frac{d}{dx}\left(x^3\right)+\frac{d}{dx}\left(y\right)+\frac{d}{dx}\left(\frac{2x}{y}\right) = \frac{1}{y}\left(\ln (y)\right)\\
\ \\
3x^2+\frac{dy}{dx}+\left[ \frac{2 y-2x \frac{dy}{dx}}{y^2} \right] = \frac{1}{y} \frac{dy}{dx}\\
\ \\
3x^2+\frac{dy}{dx}+\frac{2}{y}-\frac{2x}{y^2}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}\\
\ \\
\left( 1-\frac{1}{y}-\frac{2x}{y^2} \right)\frac{dy}{dx} = -3x^2-\frac{2}{y}\\
\ \\
\left(\frac{y^2-y-2x}{y^2} \right)\frac{dy}{dx} = \frac{-3x^2y-2}{y}\\
\ \\
\frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{y^2-y-2x}\cdot \frac{(-3x^2y-2)}{y}\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = \frac{y(-3x^2y-2)}{y^2-y-2x}\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = \frac{y(3x^2y+2)}{2x+y-y^2}

\end{equation*}

Exemplo 6:

Neste exemplo, vamos utilizar a diferenciação implícita para provar que a regra da potência para expoentes inteiros no cálculo de derivadas, também é válida para expoentes fracionários. Vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}
\end{equation*}
para todo $n = p/q$.

Iniciamos a prova para expoentes fracionários introduzindo $y$ como a variável dependente:
\begin{equation*}
y = x~^{p/q}
\end{equation*}
Elevamos ambos os membros à potência $q$:
\begin{equation*}
y^q = x^p
\end{equation*}
Derivamos implicitamente em relação a $x$, utilizando a regra da potência para expoentes inteiros:
\begin{equation*}
q~u~^{q-1} \frac{dy}{dx} = p~x~^{p-1}\\
\ \\
\frac{du}{dx} = \frac{p}{q} \cdot \frac{x~^{p-1}}{y~^{q-1}}
\end{equation*}
Podemos escrever $y~^{q-1}$ como $y^q \cdot y^{-1} = \cfrac{y^q}{y}$. Assim:
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q} \cdot \frac{x~^{p-1}}{\cfrac{y~^q}{y}}
\end{equation*}
Mas $y^2=x^p$ e $y = x^{p/q}$, assim:
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q} \cdot \frac{x~^{p-1}}{x~^p}\cdot x^{p/q}\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q} \cdot x^{p-1-p} \cdot x^{p/q}\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q} \cdot x^{-1} \cdot x^{p/q}\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q} \cdot x~^{p/q~-1}
\end{equation*}
Finalizando a prova.

Você pode fazer o download desse material no Google Drive:

DOWNLOAD

Link do artigo:

  • http://bit.ly/Diferenciação-Implícita
  • https://www.obaricentrodamente.com/2016/07/diferenciacao-implicita.html

Referências:

  • Cálculo com Geometria Analítica V1 - Simmons
  • Cálculo V1 - Munem-Foulis

Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Diferenciação implícita com exercícios resolvidos. Publicado por Kleber Kilhian em 21/07/2016. URL: . Leia os Termos de uso.


Siga também o blog pelo canal no Telegram.
Achou algum link quebrado? Por favor, entre em contato para reportar o erro.
Leia a política de moderação do blog. Para escrever em $\LaTeX$ nos comentários, saiba mais em latex.obaricentrodamente.com.

6 comentários:

  1. Parabéns, seu blog é excelente!

    ResponderExcluir
  2. Professor, por que no exemplo nº4, o y^2 do denominador não aparece no resultado final?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Foi erro de digitação. Já o corrigi. Agradeço por relatar. Um abraço.

      Excluir
  3. Tá tudo certo e maravilhoso. Mas como faço para imprimir os exercícios. Vocês não disponibilizaram esta opção?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Márcio. Incluí um botão no final do artigo para download do material em pdf. Espero que lhe seja útil.

      Um abraço.

      Excluir

Whatsapp Button works on Mobile Device only

Pesquise no blog