Resolução da integral $\displaystyle \int e^{ax} dx$

Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?

Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.

Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica.

Nesta postagem, vamos demonstrar que:
$$\begin{equation*} \int e^{ax}\ dx = \frac{e^{ax}}{a} + C \end{equation*}$$
onde $a$ $\in \mathbb{R}$ e $a$ $\neq$ $0$.

Seja a integral:
$$\begin{equation*} I = \int e^{ax}\ dx \end{equation*}$$
Para o integrando $e^{ax}$, fazemos a substituição $u=ax$. Assim, $du=adx$ e $dx = \frac{1}{a}du$.

Assim:
$$\begin{equation*} I = \int \frac{e^u}{a}\ du\\ \ \\ I= \frac{1}{a} \int e^u\ du \end{equation*}$$
A integral de $e^u$ é $e^u$. Assim:
$$\begin{equation*} I  = \frac{e^u}{a} + C \end{equation*}$$
Mas $u = ax$, logo:
$$\begin{equation*} I = \frac{e^{ax}}{a} + C \end{equation*}$$

Exemplo $1$:

Calcular a área sob a curva $f(x)=e^{x/4}$ compreendida no intervalo $[0,1]$.

Para calcularmos a área desejada, utilizamos o conceito de integral definida, com limite inferior de integração igual a $0$ e superior igual a $1$. Utilizando o resultado obtido acima, temos que:
$$\begin{equation*} A = \int_0^1 e^{x/4} \end{equation*}$$
Resolvendo a integral, temos que:
$$\begin{equation*} A = \left[ \frac{e^{x/4}}{1/4} \right]_0^1 = \left[ 4\ e^{x/4} \right]_0^1\\ \ \\ A = \left[ 4\ e^{1/4} - 4\ e^{0/4} \right] \\ \ \\ A = 4\ e^{1/4} - 4\\ \ \\ A \approx 1,136 \end{equation*}$$

Links para este artigo:

• https://bit.ly/integral-e-ax
  
• https://www.obaricentrodamente.com/2016/09/resolucao-da-integral-de-eax-dx.html
  

Veja mais:

• Lista de resolução de integrais
• Integração por substituição
• Integração por partes