Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?
Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.
Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica.
Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.
Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica.
\begin{equation*}
\int e^{ax}\ dx = \frac{e^{ax}}{a} + C
\end{equation*}
onde $a$ $\in \mathbb{R}$ e $a$ $\neq$ $0$.
\begin{equation*}
I = \int e^{ax}\ dx
\end{equation*}
Para o integrando $e^{ax}$, fazemos a substituição $u=ax$. Assim, $du=adx$ e $dx = \frac{1}{a}du$.
Assim:
\begin{equation*}
I = \int \frac{e^u}{a}\ du\\
\ \\
I= \frac{1}{a} \int e^u\ du
\end{equation*}
A integral de $e^u$ é $e^u$. Assim:
\begin{equation*}
I = \frac{e^u}{a} + C
\end{equation*}
Mas $u = ax$, logo:
\begin{equation*}
I = \frac{e^{ax}}{a} + C
\end{equation*}
Exemplo $1$:
Calcular a área sob a curva $f(x)=e^{x/4}$ compreendida no intervalo $[0,1]$.
Para calcularmos a área desejada, utilizamos o conceito de integral definida, com limite inferior de integração igual a $0$ e superior igual a $1$. Utilizando o resultado obtido acima, temos que:
\begin{equation*}
A = \int_0^1 e^{x/4}
\end{equation*}
Resolvendo a integral, temos que:
\begin{equation*}
A = \left[ \frac{e^{x/4}}{1/4} \right]_0^1 = \left[ 4\ e^{x/4} \right]_0^1\\
\ \\
A = \left[ 4\ e^{1/4} - 4\ e^{0/4} \right] \\
\ \\
A = 4\ e^{1/4} - 4\\
\ \\
A \approx 1,136
\end{equation*}
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