25/09/2016

Resolução da integral de e^ax dx

Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?

Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.

Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica.

Nesta postagem, vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\int e^{ax}\ dx = \frac{e^{ax}}{a} + C
\end{equation*}
onde $a$ $\in \mathbb{R}$ e $a$ $\neq$ $0$.

resolucao-de-integral-e-elevado-a-ax-dx-usando-integracao-por-substituicao

Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int e^{ax}\ dx
\end{equation*}
Para o integrando $e^{ax}$, fazemos a substituição $u=ax$. Assim, $du=adx$ e $dx = \frac{1}{a}du$.

Assim:
\begin{equation*}
I = \int \frac{e^u}{a}\ du\\
\ \\
I= \frac{1}{a} \int e^u\ du
\end{equation*}
A integral de $e^u$ é $e^u$. Assim:
\begin{equation*}
I  = \frac{e^u}{a} + C
\end{equation*}
Mas $u = ax$, logo:
\begin{equation*}
I = \frac{e^{ax}}{a} + C
\end{equation*}

Exemplo $1$:

Calcular a área sob a curva $f(x)=e^{x/4}$ compreendida no intervalo $[0,1]$.



Para calcularmos a área desejada, utilizamos o conceito de integral definida, com limite inferior de integração igual a $0$ e superior igual a $1$. Utilizando o resultado obtido acima, temos que:
\begin{equation*}
A = \int_0^1 e^{x/4}
\end{equation*}
Resolvendo a integral, temos que:
\begin{equation*}
A = \left[ \frac{e^{x/4}}{1/4} \right]_0^1 = \left[ 4\ e^{x/4} \right]_0^1\\
\ \\
A = \left[ 4\ e^{1/4} - 4\ e^{0/4} \right] \\
\ \\
A = 4\ e^{1/4} - 4\\
\ \\
A \approx 1,136
\end{equation*}

Links para este artigo:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Resolução da integral de e^ax dx. Publicado por Kleber Kilhian em 25/09/2016. URL: . Leia os Termos de uso.


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