Exercício de interpolação polinomial "Banco Bom Negócio"

Recebi vários e-mails solicitando ajuda  na resolução de um exercício sobre interpolação polinomial. Fiz uma breve resolução e resolvi publicar aqui no blog. Espero que ajude a mais leitores.

Este problema envolve o conceito de interpolação polinomial e a solução depende da resolução de um sistema de três equações e três incógnitas, que poderá ser resolvido pelo método que preferir.

O problema:

Considere que ao pesquisar as taxas de juros cobradas pelo Banco Bom Negócio para um empréstimo pessoal, em 3 meses de 2018, você tenha obtido para Outubro, Novembro e Dezembro os valores de taxas de juros de 3,67%, 6,60% e 6,51%, respectivamente. Considerando estes valores, faça uma estimativa para a taxa de juros a ser cobrada pelo Banco no mês de Fevereiro. Para tanto, considere:

• Outubro como o mês 1;
• Interpole os pontos a fim de encontrar o polinômio interpolador;
• A partir do modelo matemático encontrado, faça uma estimativa da taxa de juros para o mês de Fevereiro.

Resolução:

Tomamos os dados que o problema oferece e montamos a seguinte tabela:

Mês	$x$	1	2	3
$i$	$f(x)$	6,67	6,60	6,51

Um polinômio interpolador para três pontos tem a forma:

$$
P_2(x) = f(x) = a_0+a_1x+a_2x^2
$$

Substituímos os valores de $x$, que correspondem aos meses, no polinômio. Obtemos:

$$
P_2(x_0)=f(1)=a_0+a_1+a_2=6,67\\
\ \\
P_2(x_1)=f(2)=a_0+2a_1+4a_2=6,60\\
\ \\
P_2(x_2)=f(3)=a_0+3a_1+9a_2=6,51
$$

Com esses dados, podemos montar um sistema de equações:

\begin{cases}
a_0 & + & a_1 & + & a_2 & = &6,67\\
a_0 & + & 2a_1 & + & 4a_2 & = & 6,60\\
a_0 & + & 3a_1 & + & 9a_2 & = & 6,51
\end{cases}

Você pode resolver este sistema utilizando o método de substituição, mas neste caso é muito ruim e vai demorar muito. O que mais indico é o método de eliminação de Gauss (escalonamento).

Você também pode utilizar calculadoras online para encontrar os valores. Veja por exemplo esta calculadora no Blog do Prof Edigley criada através da plataforma WolframAlpha.

Assim, após a resolução, você encontrará os seguintes valores:

$$
a_0 = 6,72\\
\ \\
a_1 = -0,04\\
\ \\
a_2 = -0,01
$$

Agora, substituímos estes valores no polinômio:

$$
P_2(x)=a_0+a_1x+a_2x^2\\
\ \\
P_2(x)=6,72-0,04x - 0,01x^2
$$

Vamos agora estimar uma taxa de juros para o mês de fevereiro, que será o mês 5. Basta substituirmos o valor de $x$ por 5:

$$
P_2(5) = 6,72 - 0,2 - 0,25\\
\ \\
P_2(5) = 6,27 \%
$$

Assim, a taxa de juros estimada para o mês de fevereiro, utilizando um polinômio interpolador de grau 2 é de 6,27%.

Links para este artigo:

• http://bit.ly/Interpolacao-Polinomial-Banco-Bom-Negocio
• https://www.obaricentrodamente.com/2019/05/exercicio-de-interpolacao-polinomial-Banco-Bom-Negocio.html

Veja mais:

• Interpolação polinomial
• Escalonamento ou método de eliminação de Gauss
• Método de Castilho pra resolução de sistemas lineares