21/11/2021

Como efetuar a multiplicação entre polinômios

Neste artigo, veremos como efetuar multiplicação de um polinômio com um número real, com um monômio e 2 métodos para efetuar a multiplicação entre dois polinômios.

Antes de iniciar o estudo, vamos definir, sem muito rigor, o que são monômios e polinômios:

Monômio: Monômio é uma expressão algébrica composta por um número real, uma variável ou pelo produto entre números e variáveis.

Polinômio: Polinômio é uma expressão algébrica composta por monômios, conectados por operadores como a adição e a subtração.
como-efetuar-a-multiplicacao-entre-dois-polinomios

1) Multiplicação entre número real e um polinômio

Para multiplicar um polinômio por um número real, aplicamos a propriedade distributiva, multiplicando o número real por cada coeficiente dos termos do polinômio.

Sejam um número real $n$ e um polinômio $p(x)$ dado por:
$$
p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots + a_mx^m
$$
A multiplicação $n \cdot p(x)$ é dada por:
$$
n\cdot p(x) = n\left( a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots + a_mx^m \right)\\
\ \\
n\cdot p(x) =na_0+na_1x+na_2x^2+\cdots + na_mx^m
$$

Exemplo 1:

Vamos efetuar a multiplicação do número real $2$ pelo polinômio $p(x)=2x+3x^2+x^3$.
$$
n\cdot p(x) = 2\left( 2x+3x^2+x^3\right)
$$
Aplicamos a propriedade distributiva, multiplicando o número real $2$ por cada coeficiente do polinômio:
$$
n \cdot p(x) = 4x+6x^2+2x^3
$$

Exemplo 2:

Efetuar a multiplicação entre  $-5$ e o polinômio $p(x)=1-x-x^2-2x^3+5x^4$.
$$
n\cdot p(x) = -5\left(1-x-x^2-2x^3+5x^4\right)
$$
Aplicando a propriedade distributiva:
$$
n\cdot p(x) = (-5)(1) + (-5)(-x)+(-5)(-x^2)+\\
+(-5)(-2x^3)+(-5)(5x^4)\\
\ \\
n\cdot p(x) = -5 + 5x +5x^2 + 10x^3 -25x^4
$$

Exemplo 3:

Efetuar a multiplicação entre o número real $\cfrac{1}{2}$ e o polinômio $p(x) =8-2x+x^2-4x^3$.
$$
n\cdot p(x) = \cfrac{1}{2}\left( 8 - 2x + x^2 - 4x^3 \right)\\
\ \\
n\cdot p(x) = \cfrac{8}{2} - \cfrac{2x}{2} + \cfrac{x^2}{2} - \cfrac{4x^3}{2}\\
\ \\
n\cdot p(x) = 4 - x + \cfrac{x^2}{2} - 2x^3
$$

2) Multiplicação entre um monômio e um polinômio

Para multiplicar um polinômio por um monômio, aplicamos a propriedade distributiva, multiplicando o coeficiente a as variáveis do monômio pelo coeficiente e as variáveis do polinômio, respectivamente.

Sejam um monômio $m(x)=bx^n$ e um polinômio $p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots + a_mx^m$. A multiplicação de $m(x)$ por $p(x)$ é dada por:
$$
(m\cdot p)(x) = bx^n \left( a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots + a_mx^m \right)\\
\ \\
(m\cdot p)(x) = a_0bx^n + a_1bx^{n+1}+a_2b^{n+2}+\cdots + a_mbx^{n+m}
$$

Exemplo 4:

Efetuar a multiplicação entre o monômio $m(x)=2x^2$ e o polinômio $p(x)=1-2x+3x^2+x^3$.
$$
(m\cdot p)(x) = 2x^2(1-2x+3x^2+x^3)\\
\ \\
= 2x^2(1)+2x^2(-2x)+2x^2(3x^2)+2x^2(x^3)\\
\ \\
 = 2x^{2} + 2(-2) x^{2+1} + 2(3) x^{2+2} +2x^{2+3}\\
\ \\
 = 2x^2 - 4x^3 + 6x^4 + 2x^5
$$

Exemplo 5:

Efetuar a multiplicação entre o monômio $m(x)=-x$ e o polinômio $p(x)=3-x+2x^2-4x^3)$.
$$
(m\cdot p)(x) = (-x)(3-x+2x^2-4x^3)\\
\ \\
(m\cdot p)(x) = -3x + x^2 - 2x^3 -4x^4
$$

3) Primeiro método de multiplicação entre dois polinômios

Para multiplicar dois polinômios, aplicamos a propriedade distributiva, onde cada termo do primeiro polinômio multiplica cada termo do segundo. Por fim, somamos os termos semelhantes.

Sejam dois polinômios $p(x)$ e $q(x)$ dados por:
$$
p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots + a_mx^m\\
\ \\
\text{e}\\
\ \\
p(x) = b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots b_nx^n
$$
A multiplicação de $p(x)$ por $q(x)$ é dada por:
$$
(p\cdot q)(x) = a_0b_0 + (a0b_1+a_1b_0)x +\\
+(a_2+a_1b_1 + a_0b_2)x^2 +\cdots + (a_mb_n)x^{m+n}
$$
Resultando em:
$$
c(x) = c_0 + c_1x + c_2x^2 + \cdots + c_{m+n}x^{m+n}
$$

Exemplo 6:

Efetuar a multiplicação entre os polinômios $p(x)$ e $q(x)$, dados por:
$$
p(x) = x+2x^2 \quad \text{e} \quad q(x)=4+5x+6x^2
$$
A multiplicação entre $p(x)$ e $q(x)$ é dada por:
$$
c(x)=(p\cdot q)(x) = (x+2x^2)(4+5x+6x^2)
$$
Aplicamos a propriedade distributiva multiplicando cada termo de $p(x)$ por cada termo de $q(x)$:
$$
c(x) = 4x + 5x^2 +6x^3+8x^2+10x^3+12x^4
$$
Agora, somamos os termos semelhantes, ou seja, aqueles que possuem a variável $x$ com mesmo expoente:
$$
c(x) = 4x + (5x^2+8x^2) + (6x^3+10x^3) + 12x^4\\
\ \\
c(x) = 4x + 13x^2 + 16x^3 + 12x^4
$$

4) Segundo método de multiplicação entre polinômios

Neste método, dispomos em uma tabela os coeficientes de $p(x)$ na linha superior e os coeficientes de $q(x)$ na coluna esquerda e calculamos os produtos individuais entre os coeficientes. Em seguida somamos as diagonais da esquerda para direita e de baixo para cima. Estes serão os coeficientes do produto desejado.

Exemplo 7:

Vamos tomar a mesma multiplicação dos mesmos polinômios do exemplo 6. Assim, sejam os polinômios $p(x)$ e $q(x)$, dados por:
$$
q(x) = x+2x^2 \quad \text{e} \quad p(x)=4+5x+6x^2
$$
A multiplicação entre $p(x)$ e $q(x)$ é dada por:
$$
c(x)=(p\cdot q)(x) = (x+2x^2)(4+5x+6x^2)
$$
Dispomos os coeficientes na tabela:
multiplicacao-entre-dois-poinomios-metodo-da-grade-ex7a
Em seguida, somamos as diagonais com os produtos, da esquerda para direita e de baixo para cima, como indicado na tabela abaixo:
multiplicacao-entre-dois-poinomios-metodo-da-grade-ex7b
Assim, os coeficientes $c(x)$ ficam:
\begin{align*}
c_0& = 0\\
c_1& = 4+0=4\\
c_2&=8+5+0=13\\
c_3&=10+6=16\\
c_4&=12
\end{align*}
Portanto, o produto desejado é dado por:
$$
c(x) = 4x+13x^2+16x^3+12x^4
$$
Vejam que é o mesmo resultado encontrado no exemplo 6 através de outro método, o que não surpreende, mas conforta.

Exemplo 8:

Efetuar a multiplicação entre os polinômios $p(x)$ e $q(x)$ dados por:
$$
p(x) = 2+5x-3x^2 \\
\text{e}\\
q(x) = 1+2x-2x^3+x^4
$$
Dispomos os coeficientes de $p(x)$ na linha superior e os coeficientes de $q(x)$ na coluna esquerda e calculamos os produtos individuais.
multiplicacao-entre-dois-poinomios-metodo-da-grade-ex8a
Em seguida, somamos os produtos nas diagonais:
multiplicacao-entre-dois-poinomios-metodo-da-grade-ex8b
Assim, os coeficientes $c(x)$ ficam:
\begin{align*}
c_0& = 2\\
c_1& = 4+5=9\\
c_2&=0+10-3=7\\
c_3&=-4+0-6=-10\\
c_4&=2-10+0=-8\\
c_5&=5+6=11\\
c_6&=-3
\end{align*}
Portanto, o produto desejado é dado por:
$$
c(x) = 2+9x+7x^2-10x^3-8x^4+11x^5-3x^6
$$

Podemos resumir a multiplicação entre dois polinômios, utilizando o método da tabela, como:

como-efetuar-multipliacao-entre-dois-poinomios-pelo-metodo-da-tabela

Referências:

  • Fundamentos de Matemática Elementar V6: Complexos, Polinômios e Equações - Gelson Iezzi

Links para este artigo:


Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Como efetuar a multiplicação entre polinômios. Publicado por Kleber Kilhian em 21/11/2021. URL: . Leia os Termos de uso.


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3 comentários:

  1. Esse deu trabalho meu amigo!

    Daí lembrei de uma aula sobre Monômio e Polinômios. Veja o post Caneta Bézier, edição de imagens vetoriais e Matemática no blog, onde dei um pequeno exemplo de aplicação dos polinômios.

    A Curva de Bézier é uma curva polinomial expressa como a interpolação linear entre alguns pontos representativos, chamados de pontos de controle. É uma curva utilizada em diversas aplicações gráficas como o Illustrator, Freehand, Fireworks, GIMP, Photoshop, Processing, Inkscape e CorelDRAW, e formatos de imagem vetorial como o SVG. [segundo o Wikipédia]

    Um abraço!

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  2. Olá Edigley! Como vai?

    Deu trabalho mesmo. Porque, às vezes a equação fica bem disposta no desktop, mas não tão boa na versão mobile. Então fiquei testando dos dois dispositivos. Dá mais trabalho mesmo.

    Eu ia linkar esse seu artigo sobre a caneta bézier, aí acabei vendo esse outro do widget da wolfram. Mas vou incluí-lo depois. Obrigado meu amigo pela presença! Um abraço!

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    Respostas
    1. Tudo na paz!

      Imagino mesmo o trabalho.

      Sobre o widget, eu parei de recomendar depois que os navegadores pararam de dar suporte para o flash. E também que esses widgets nunca saíram da versão beta.

      Abraço!

      Excluir

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