Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?
Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.
Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica ou ainda uma combinação de métodos.
A resolução desta integral admite duas respostas distintas. Como assim? Sim. Admitem duas respostas. Veremos a seguir.
Calcular a integral:
$$\int \text{sen}(x)\cos(x)\ dx
$$
Para resolver esta integral, utilizamos o método de integração por substituição.
Fazendo $u = \text{sen}(x)$:
Seja a integral:
$$I = \int \text{sen}(x) \cos(x)\ dx
$$
Para o integrando $\text{sen}(x) \cos(x)$, fazemos a substituição $u=\text{sen}(x)$. Assim, $du=\cos(x)\ dx$ e $\displaystyle dx = \frac{1}{\cos(x)}\ du$:
$$I = \int u\ \cos(x)\ \frac{1}{\cos(x)}\ du\\
\ \\
I = \int u\ du
$$
A integral de $u$ é $\displaystyle \frac{u^2}{2}$. Assim:
$$I = \frac{u^2}{2} + C_1
$$
Mas, $u=\text{sen}(x)$. Logo:
$$\boxed{I = \frac{\text{sen}^2(x)}{2}+C_1}
$$
Fazendo $u = \cos(x)$:
Seja a integral:
$$I = \int \text{sen}(x) \cos(x)\ dx
$$
Para o integrando $\text{sen}(x) \cos(x)$, fazemos a substituição $u=\cos(x)$. Assim, $du=-\text{sen}(x)\ dx$ e $\displaystyle dx = -\frac{1}{\text{sen}(x)}\ du$:
$$I = - \int u\ \text{sen}(x)\ \frac{1}{\text{sen}(x)}\ du\\
\ \\
I = - \int u\ du
$$
A Integral de $u$ é $\displaystyle \frac{u^2}{2}$. Assim:
$$I = -\frac{u^2}{2} + C_2
$$
Mas, como $u=\cos(x)$, logo:
$$\boxed{ I = -\frac{\cos^2(x)}{2}+C_2}
$$
Obtemos duas respostas distintas, mas ambas estão corretas. O que as fazem ser equivalentes são as constantes $C_1$ e $C_2$. Vamos tentar descobrir o motivo igualando as respostas:
$$\frac{\text{sen}^2(x)}{2}+C_1 =^? -\frac{\cos^2(x)}{2}+C_2\\
\ \\
\frac{1}{2} \text{sen}^2(x) + \frac{1}{2} \cos^2(x) =^? C_2-C_1\\
\ \\
\frac{1}{2} \left( \text{sen}^2(x) + \cos^2(x) \right) =^? C_2-C_1
$$
Da relação trigonométrica fundamental, temos que:
$$\text{sen}^2(x)+\cos^2(x) = 1
$$
Substituindo na relação anterior, obtemos:
$$\frac{1}{2} = C_2-C_1
$$
Temos que a diferença entre as constantes $C_1$ e $C_2$ é igual a $\displaystyle \frac{1}{2}$. As diferentes respostas obtidas com a substituição do seno ou do cosseno por $u$ são válidas e dependem das constantes $C_1$ ou $C_2$. Isso mostra o quão importante é adicionar a constante $C$ após o processo de integração.
Olá, boa noite! Você poderia me explicar o porquê de a gente pôr parênteses ao escrevermos uma expressão algébrica? Ex.: o produto de X e X+3 é escrito assim — X(X+3).
ResponderExcluirOlá.
ExcluirOs parênteses é um dos símbolos de agrupamento, assim como os colchetes e as chaves. Quando temos uma expressão do tipo $x^2+3x$, se quisermos fatorá-la, precisamos colocar em evidência o termo comum, que no caso é o $x$. Escrevemos assim: $x(x+3)$. Devemos ficar atentos que a fatoração é o processo inverso da distributiva, implicando que o $x$ está multiplicando o binômio dentro do parênteses. Esse tipo de multiplicação sem usar símbolos como o ponto $\cdot$ ou o sinal $\times$, chama-se multiplicação por justaposição. Foi convencionado assim porque facilita a escrita. Mesmo em uma expressão algébrica como $2ax$, por exemplo, são 3 fatores, mas não escrevemos o símbolo de multiplicação. Mas veja que não funciona quando os fatores são apenas números, pois haveria uma confusão. Sugiro a leitura de 2 artigos aqui do blog que talvez dê uma visão um pouco melhor:
Origens dos símbolos para multiplicação:
https://www.obaricentrodamente.com/2019/12/origens-dos-simbolos-para-multiplicacao.html
A ordem das operações em expressões matemáticas:
https://www.obaricentrodamente.com/2021/09/a-ordem-das-operacoes-em-expressoes-matematicas.html