A primeira ocorrência de uma série infinita que se tem notícia foi encontrada em um dos trabalhos de Arquimedes (287 a.C. – 212 a.C.), onde ele calcula a área da parábola, tendo que lidar com uma série geométrica de razão $q=1/4$.
As séries infinitas somente voltaram a aparecer na matemática cerca de 1500 anos depois, no século XIV, devido a trabalhos de um grupo de matemáticos na Universidade e Oxford e de Paris, quando estudavam a cinemática.
A ideia de uma série infinita surge na matemática com a necessidade de somar infinitas parcelas sucessivas, onde o termo seguinte obedece a uma lei de formação em relação ao termo anterior.
Uma maneira fácil de imaginar uma série infinita é pensar em um segmento de comprimento unitário sendo dividido ao meio. Tomamos uma dessas metades e dividimos ao meio. E seguimos este processo infinitamente:
Quando somamos todas as subdivisões do segmento unitário é natural pensarmos que o resultado seja o próprio segmento. Matematicamente representamos como:
$$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \cdots = 1
$$
A série geométrica é obtida quando somamos os infinitos termos de uma progressão geométrica, onde podemos representá-la como:
$$\sum_{n=0}^{\infty} q^n = 1 + q + q^2 + q^3 + \cdots
$$
onde $q$ é a razão.
Quando a soma dos infinitos termos de uma série geométrica resulta em um número finito, dizemos que é uma série convergente.
Vamos supor que a série geométrica abaixo possua a razão entre $0$ e $1$:
$$1 + q + q^2 + q^3 + \cdots \tag{1}
$$
Os termos somado à unidade são cada vez menores, sugerindo que a soma tenda a um número fixo.
Vamos tentar comprovar essa ideia tomando como ponto de partida a soma de uma PG de razão $q$:
$$S_n = 1 + q + q^2 + q^3 + \cdots + q^n\\
\ \\
S_n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}
$$
Obtendo:
$$S_n = \frac{1}{1-q} - \frac{q^{n+1}}{1-q} \tag{2}
$$
Se a razão $q$ estiver entre $0$ e $1$, a segunda parcela de $(2)$ ficará cada vez menor à medida em que $n$ tenda ao infinito. Portanto, se fizermos $n$ tender ao infinito, a segunda parcela tende a $0$:
$$\lim_{n \longrightarrow \infty} \frac{q^{n+1}}{1-q} = 0
$$
Desta forma, podemos reescrever a série geométrica dada em $(2)$ como:
$$S_n = \frac{1}{1-q} \tag{3}
$$
Exemplo 1:
Se fizermos $q=1/2$, obteremos:
$$S_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots + \frac{1}{2^n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}\\
\ \\
S_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^n} \\
\ \\
S_n = \frac{1}{\displaystyle 1-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{1}{2}} = 2
$$
Exemplo 2:
Se fizermos $q=1/3$, obteremos:
$$S_n = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \cdots + \frac{1}{3^n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{3^n}\\
\ \\
S_n = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \cdots + \frac{1}{3^n} \\\ \\
S_n = \frac{1}{\displaystyle 1-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{2}{3}} = \frac{3}{2}
$$
Exemplo 3:
Se fizermos $q=1/4$, obteremos:
$$S_n = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \cdots + \frac{1}{4^n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{4^n}\\
\ \\
S_n = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \cdots + \frac{1}{4^n}\\
\ \\
S_n = \frac{1}{\displaystyle 1-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{3}{4}} = \frac{4}{3}
$$
Referências:
- Várias Faces da Matemática - Geraldo Ávila
Links para este artigo:
- https://bit.ly/series-geometricas
- https://www.obaricentrodamente.com/2023/03/as-series-geometricas-convergentes.html
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