Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?
Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.
Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica ou ainda uma combinação de métodos.
Calcular a integral:
∫xnln|xm| dxPara resolver esta integral, utilizamos o método de integração por partes.
Seja a integral:
I=∫xnln|xm| dxFazemos u=ln|xm| e dv=xn. Em seguida, calculamos a derivada de u e a integral de $dv:
u=ln|xm|⟶du=mx dxdv=xn dx⟶v=xn+1n+1
Substituindo os resultados obtidos na fórmula para integração por partes, obtemos:
I=∫u dv=u v−∫v du I=xn+1n+1 ln|xm|−∫xn+1n+1 mx dx I=xn+1ln|xm|n+1−mn+1∫xn dxA integral de xn é xn+1n+1. Assim:
I=xn+1ln|xm|n+1−mn+1 xn+1n+1+C I=xn+1ln|xm|n+1−m xn+1(n+1)2+C I=xn+1((n+1)ln|xm|−m)(n+1)2+CEsta integral representa uma família de curvas que assumem configurações diferentes dependendo das constantes n e m:
Para n=0 e m=1, teremos:
∫ln|x| dx=x(ln|x|−1)+CPara n=0, teremos:
∫ln|xm| dx=x(ln|xm|−m)+CPara m=1, teremos:
∫xnln|x| dx=xn+1((n+1)ln|x|−1)(n+1)2+CPara constantes arbitrárias, por exemplo n=3 e m=2, teremos:
∫x3ln|x2| dx=x4(2ln|x2|−1)8+CExemplo 1:
Vamos calcular a área sombreada no gráfico abaixo gerado pela função f(x)=x3ln|x2|, compreendida entre o intervalo de x=0 a x=1.
Para encontrarmos a área desejada, utilizamos o conceito de integral definida. Fazemos:
A=∫10x3ln|x2| dxTomando os resultados obtidos acima, temos que:
A=[x4(2ln|x2|−1)8]10 A=14(2ln|12|−1)8−04(2ln|02|−1)8 A=2ln(1)−18 A=0−18 A=−18 A=−0,125O sinal de negativo no resultado acima indica apenas que a área que estamos calculado encontra-se abaixo do eixo dos x. Assim, a área desejada vale 0,125 u.a..
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