Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?
Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.
Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica ou ainda uma combinação de métodos.
Calcular a integral:
$$\int x^n \ln|x^m|\ dx
$$
Para resolver esta integral, utilizamos o método de integração por partes.
Seja a integral:
$$I = \int x^n \ln|x^m|\ dx
$$
Fazemos $u=\ln |x^m|$ e $dv=x^n$. Em seguida, calculamos a derivada de $u$ e a integral de $dv:
\begin{matrix}
u=\ln|x^m| &\longrightarrow & \displaystyle du = \frac{m}{x}\ dx\\
dv=x^n \ dx & \longrightarrow & v=\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}
\end{matrix}
I= \int u\ dv = u\ v - \int v\ du\\
\ \\
I = \frac{x^{n+1}}{n+1} \ \ln|x^m| - \int \frac{x^{n+1}}{n+1}\ \frac{m}{x}\ dx\\
\ \\
I = \frac{x^{n+1}\ln|x^m|}{n+1} - \frac{m}{n+1} \int x^n\ dx
$$
I = \frac{x^{n+1}\ln|x^m|}{n+1} - \frac{m}{n+1} \ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\\
\ \\
I = \frac{x^{n+1}\ln|x^m|}{n+1} - \frac{m\ x^{n+1}}{(n+1)^2} + C\\
\ \\
I = \frac{x^{n+1} \big( (n+1)\ln|x^m| - m \big)}{(n+1)^2} + C
$$
\int \ln|x|\ dx = x\big( \ln|x| - 1\big) + C
$$
\int \ln |x^m|\ dx = x\big( \ln|x^m|-m\big) + C
$$
\int x^n \ln|x|\ dx = \frac{x^{n+1}\big( (n+1) \ln|x| -1 \big)}{(n+1)^2}+C
$$
\int x^3 \ln|x^2|\ dx = \frac{x^4 \big(2 \ln|x^2|-1\big)}{8}+C
$$
A = \int_0^1 x^3 \ln|x^2|\ dx
$$
A = \left[ \frac{x^4 \big(2 \ln|x^2|-1\big)}{8}\right]_0^1\\
\ \\
A = \frac{1^4 (2\ln|1^2|-1)}{8} - \frac{0^4(2\ln|0^2|-1)}{8}\\
\ \\
A = \frac{2\ln(1)-1}{8}\\
\ \\
A=\frac{0-1}{8}\\
\ \\
A=-\frac{1}{8}\\
\ \\
A =-0,125
$$
u=\ln|x^m| &\longrightarrow & \displaystyle du = \frac{m}{x}\ dx\\
dv=x^n \ dx & \longrightarrow & v=\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}
\end{matrix}
Substituindo os resultados obtidos na fórmula para integração por partes, obtemos:
$$I= \int u\ dv = u\ v - \int v\ du\\
\ \\
I = \frac{x^{n+1}}{n+1} \ \ln|x^m| - \int \frac{x^{n+1}}{n+1}\ \frac{m}{x}\ dx\\
\ \\
I = \frac{x^{n+1}\ln|x^m|}{n+1} - \frac{m}{n+1} \int x^n\ dx
$$
A integral de $x^n$ é $\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}$. Assim:
$$I = \frac{x^{n+1}\ln|x^m|}{n+1} - \frac{m}{n+1} \ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\\
\ \\
I = \frac{x^{n+1}\ln|x^m|}{n+1} - \frac{m\ x^{n+1}}{(n+1)^2} + C\\
\ \\
I = \frac{x^{n+1} \big( (n+1)\ln|x^m| - m \big)}{(n+1)^2} + C
$$
Esta integral representa uma família de curvas que assumem configurações diferentes dependendo das constantes $n$ e $m$:
Para $n=0$ e $m=1$, teremos:
$$\int \ln|x|\ dx = x\big( \ln|x| - 1\big) + C
$$
Para $n=0$, teremos:
$$\int \ln |x^m|\ dx = x\big( \ln|x^m|-m\big) + C
$$
Para $m=1$, teremos:
$$\int x^n \ln|x|\ dx = \frac{x^{n+1}\big( (n+1) \ln|x| -1 \big)}{(n+1)^2}+C
$$
Para constantes arbitrárias, por exemplo $n=3$ e $m=2$, teremos:
$$\int x^3 \ln|x^2|\ dx = \frac{x^4 \big(2 \ln|x^2|-1\big)}{8}+C
$$
Exemplo 1:
Vamos calcular a área sombreada no gráfico abaixo gerado pela função $f(x)= x^3 \ln|x^2|$, compreendida entre o intervalo de $x=0$ a $x=1$.
Para encontrarmos a área desejada, utilizamos o conceito de integral definida. Fazemos:
$$A = \int_0^1 x^3 \ln|x^2|\ dx
$$
Tomando os resultados obtidos acima, temos que:
$$A = \left[ \frac{x^4 \big(2 \ln|x^2|-1\big)}{8}\right]_0^1\\
\ \\
A = \frac{1^4 (2\ln|1^2|-1)}{8} - \frac{0^4(2\ln|0^2|-1)}{8}\\
\ \\
A = \frac{2\ln(1)-1}{8}\\
\ \\
A=\frac{0-1}{8}\\
\ \\
A=-\frac{1}{8}\\
\ \\
A =-0,125
$$
O sinal de negativo no resultado acima indica apenas que a área que estamos calculado encontra-se abaixo do eixo dos $x$. Assim, a área desejada vale $0,125\ u.a.$.
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