Resolução da integral $\displaystyle \int x^n \ln|x^m|\ dx$

Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?

Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.

Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica ou ainda uma combinação de métodos.

Calcular a integral:

$$\int x^n \ln|x^m|\ dx$$

Para resolver esta integral, utilizamos o método de integração por partes.

Seja a integral:

$$I = \int x^n \ln|x^m|\ dx$$

Fazemos $u=\ln |x^m|$ e $dv=x^n$. Em seguida, calculamos a derivada de $u$ e a integral de $dv:

$$\begin{matrix} u=\ln|x^m| &\longrightarrow & \displaystyle du = \frac{m}{x}\ dx\\ dv=x^n \ dx & \longrightarrow & v=\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1} \end{matrix}$$

Substituindo os resultados obtidos na fórmula para integração por partes, obtemos:

$$I= \int u\ dv = u\ v - \int v\ du\\ \ \\ I = \frac{x^{n+1}}{n+1} \ \ln|x^m| - \int \frac{x^{n+1}}{n+1}\ \frac{m}{x}\ dx\\ \ \\ I = \frac{x^{n+1}\ln|x^m|}{n+1} - \frac{m}{n+1} \int x^n\ dx$$

A integral de $x^n$ é $\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}$. Assim:

$$I = \frac{x^{n+1}\ln|x^m|}{n+1} - \frac{m}{n+1} \ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\\ \ \\ I = \frac{x^{n+1}\ln|x^m|}{n+1} - \frac{m\ x^{n+1}}{(n+1)^2} + C\\ \ \\ I = \frac{x^{n+1} \big( (n+1)\ln|x^m| - m \big)}{(n+1)^2} + C$$

Esta integral representa uma família de curvas que assumem configurações diferentes dependendo das constantes $n$ e $m$:

Para $n=0$ e $m=1$, teremos:

$$\int \ln|x|\ dx = x\big( \ln|x| - 1\big) + C$$

Para $n=0$, teremos:

$$\int \ln |x^m|\ dx = x\big( \ln|x^m|-m\big) + C$$

Para $m=1$, teremos:

$$\int x^n \ln|x|\ dx = \frac{x^{n+1}\big( (n+1) \ln|x| -1 \big)}{(n+1)^2}+C$$

Para constantes arbitrárias, por exemplo $n=3$ e $m=2$, teremos:

$$\int x^3 \ln|x^2|\ dx = \frac{x^4 \big(2 \ln|x^2|-1\big)}{8}+C$$

Exemplo 1:

Vamos calcular a área sombreada no gráfico abaixo gerado pela função $f(x)= x^3 \ln|x^2|$, compreendida entre o intervalo de $x=0$ a $x=1$.

Para encontrarmos a área desejada, utilizamos o conceito de integral definida. Fazemos:

$$A = \int_0^1 x^3 \ln|x^2|\ dx$$

Tomando os resultados obtidos acima, temos que:

$$A = \left[ \frac{x^4 \big(2 \ln|x^2|-1\big)}{8}\right]_0^1\\ \ \\ A = \frac{1^4 (2\ln|1^2|-1)}{8} - \frac{0^4(2\ln|0^2|-1)}{8}\\ \ \\ A = \frac{2\ln(1)-1}{8}\\ \ \\ A=\frac{0-1}{8}\\ \ \\ A=-\frac{1}{8}\\ \ \\ A =-0,125$$

O sinal de negativo no resultado acima indica apenas que a área que estamos calculado encontra-se abaixo do eixo dos $x$. Assim, a área desejada vale $0,125\ u.a.$.

Métodos de Integração:

• Por partes
• Tabular
• Por substituição
• Frações parciais
• Substituição trigonométrica
• Integrais literais resolvidas