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01/05/2023

Resolução da integral xnln|xm| dx

Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?

Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.

Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituiçãopor partespor frações parciais ou substituição trigonométrica ou ainda uma combinação de métodos.
resolucao-da-integral-x^n-ln-x^m-x^n ln(x^m)
Calcular a integral:
xnln|xm| dx

Para resolver esta integral, utilizamos o método de integração por partes.

Seja a integral:
I=xnln|xm| dx
Fazemos u=ln|xm| e dv=xn. Em seguida, calculamos a derivada de u e a integral de $dv:
u=ln|xm|du=mx dxdv=xn dxv=xn+1n+1
Substituindo os resultados obtidos na fórmula para integração por partes, obtemos:
I=u dv=u vv du I=xn+1n+1 ln|xm|xn+1n+1 mx dx I=xn+1ln|xm|n+1mn+1xn dx
A integral de xn é xn+1n+1. Assim:
I=xn+1ln|xm|n+1mn+1 xn+1n+1+C I=xn+1ln|xm|n+1m xn+1(n+1)2+C I=xn+1((n+1)ln|xm|m)(n+1)2+C
Esta integral representa uma família de curvas que assumem configurações diferentes dependendo das constantes n e m:

Para n=0 e m=1, teremos:
ln|x| dx=x(ln|x|1)+C

Para n=0, teremos:
ln|xm| dx=x(ln|xm|m)+C

Para m=1, teremos:
xnln|x| dx=xn+1((n+1)ln|x|1)(n+1)2+C

Para constantes arbitrárias, por exemplo n=3 e m=2, teremos:
x3ln|x2| dx=x4(2ln|x2|1)8+C

Exemplo 1:

Vamos calcular a área sombreada no gráfico abaixo gerado pela função f(x)=x3ln|x2|, compreendida entre o intervalo de x=0 a x=1.
resolucao-da-integral-x3-ln-x2-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian
Para encontrarmos a área desejada, utilizamos o conceito de integral definida. Fazemos:
A=10x3ln|x2| dx
Tomando os resultados obtidos acima, temos que:
A=[x4(2ln|x2|1)8]10 A=14(2ln|12|1)804(2ln|02|1)8 A=2ln(1)18 A=018 A=18 A=0,125
O sinal de negativo no resultado acima indica apenas que a área que estamos calculado encontra-se abaixo do eixo dos x. Assim, a área desejada vale 0,125 u.a..

    COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Resolução da integral xnln|xm| dx. Publicado por Kleber Kilhian em 01/05/2023. URL: . Leia os Termos de uso.


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