Você já se deparou com a seguinte operação?
$$ \sqrt{-4} \times \sqrt{-9} $$É fácil lembrar da propriedade do produto de raicais $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b}$ e instintivamente aplicar ao problema:
$$ \sqrt{-4} \times \sqrt{-9} = \sqrt{(-4)\cdot (-9)} = \sqrt{36}=6 $$Este resultado está incorreto! Mas por que? Onde está o erro?
A propriedade $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b}$ possui uma condição fundamental que muitas vezes é esquecida: ela só é garantida no conjunto dos números reais quando pelo menos um dos números $a$ ou $b$ não é negativo.
Quando lidamos com raízes de números negativos, entramos no domínio dos Números Complexos, e a regra de ouro aqui é: Extraia a unidade imaginária $i$ antes de realizar qualquer outra operação.
Para resolver corretamente, devemos primeiro identificar a unidade imaginária $i$ dentro do radical. Lembremos que $i^2 = -1$. Assim, fazemos:
1. Primeiro, transformamos os termos:
$$ \sqrt{-4} = \sqrt{4 \cdot (-1)} = \sqrt{4\ i^2} = 2i\\ \ \\ \text{e}\\ \ \\ \sqrt{-9} = \sqrt{9 \cdot (-1)} = \sqrt{9\ i^2} = 3i $$2. Em seguida, realizamos a multiplicação:
$$ 2i \times 3i = 6i^2 $$3. Como sabemos que $i^2=1$, então:
$$ 6i^2 = 6 \times (-1) = -6 $$Como vimos, o resultado correto é $-6$ e não $6$.
A lição para os estudantes é simples: ao encontrar um sinal de menos dentro de uma raiz quadrada, trate-o como a prioridade em relação à propriedade de extração da raiz. Converta para a forma imaginária antes de multiplicar para obter o resultado correto.
E se apenas um dos radicais for negativo?
A dúvida é: A regra de converter primeiro para a forma imaginária vale apenas quando os dois radicandos são negativos, ou também vale quando apenas um deles é negativo?
Veremos em seguida que a regra vale para qualquer caso, mas que, por praticidade, podemos "pular" essa parte.
Vamos analisar o exemplo:
$$ \sqrt{-4} \times \sqrt{9} $$Para manter o rigor matemático durante a resolução e evitar confusões em cálculos futuros, seguinos a regra de converter para a unidade imaginária antes da multiplicação:
1. Tratamos o radical negativo: Como sabemos que $i=\sqrt{-1}$, então:
$$ \sqrt{-4} = \sqrt{4 \cdot i^2} = 2i $$2. Mantemos o radical positivo:
$$ \sqrt{9} = 3 $$3. Realizamos o produto:
$$ 2i \times 3 = 6i $$Para que não reste dúvida de que o resultado é um número imaginário puro, podemos desfazer a conversão de $i$ ao final. Sabemos que:
$$ 6i = 6 \ \sqrt{-1} $$Para que o fator $6$ seja incluído dentro da raiz quadrada novamente, fazemos a operação inversa da radiciação (a exponenciação), elevando o $6$ ao quadrado e multiplicando-o pelo radicando:
$$ 6i = \sqrt{6^2 \times (-1)} = \sqrt{36 \times (-1)} = \sqrt{-36} $$Note que o sinal negativo continua dentro da raiz, confirmando que o resultado final é, de fato, imaginário.
Como vimos, $\sqrt{-4} \times \sqrt{9}= \sqrt{-36}$. Esse resultado é o mesmo obtido se aplicássemos a regra do produto entre raízes quadradas. No entanto, é apenas uma coincidência, mas que, nesses casos onde uma raiz é negativa e a outra é positiva, a regra do produto funciona exatamente igual quando usamos o caminho matematicamente rigoroso de transformar para a unidade imaginária $i$ antes de qualquer operação.
Existem muitas coincidências na matemática que às vezes utilizamos para facilitar os cálculos, mas que guardam explicações profundas que merecem cuidado para que não haja uma generalização indevida.
Refletir sobre a natureza da matemática pode ser transformador, trazendo luz para onde antes havia trevas.Kleber Kilhian
Referências:
- Artigo inspirado no vídeo de Instagram de devsir_mgd
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