14/03/2010

Uma Demonstração para a Área do Pentágono

A demonstração da área do pentágono regular será feita de duas formas: utilizando elementos de geometria e trigonometria e através do cálculo integral.

1) Primeiramente, vamos demonstrar utilizando elementos de geometria e trigonometria. Para isso, consideremos o pentágono regular abaixo:

Figura1b

[Figura 1]

O pentágono pode ser dividido em 5 triângulos isósceles. Então, se encontrarmos a área de um desses triângulos, multiplicamos por 5 e encontraremos a área total do pentágono.

O ângulo θ é dado por 360° dividido por 10, encontramos, então, θ = 36°.

Da figura 1, destacamos o triângulo abaixo:

image

[Figura 2]

A trigonometria nos garante que a tangente de um ângulo é o quociente da medida do cateto oposto pela medida do cateto adjacente a este ângulo. Representaremos por:

clip_image002

clip_image004[1]

Desta relação, temos:

clip_image002[4]

Como a área de um triângulo é dada pelo semiproduto da base pela altura, então:

clip_image002[6]

Aplicando no triângulo da figura 2 temos:

clip_image002[8]

Substituindo (2) em (3), obtemos:

clip_image002[10]

clip_image004[3]

Para a área do pentágono, basta multiplicarmos por 5:

clip_image002[12]

clip_image004[5]

Vejam que a fórmula encontrada em (4) é diferente das fórmulas encontradas na rede para o cálculo da área do pentágono. Mas faremos um exemplo numérico para avaliar sua eficácia: considere um pentágono regular de aresta lateral igual a 4. Calcule sua área.

Utilizando a fórmula dada em (4), temos:

clip_image002[14]

Algumas fórmulas prontas encontradas pela rede nos remete a:

clip_image002[16]

Vimos que os resultados obtidos são os mesmos.

2) Agora, vamos construir a fórmula para o cálculo da área de um pentágono regular dada em (4) utilizando o cálculo integral.

Vamos considerar um pentágono regular centrado na origem de um plano cartesiano OXY:

image

[Figura 3]

A reta f (x) passa pela origem e por um dos vértices do pentágono. A equação reduzida da reta é expressa por:

clip_image002[18]

onde m é o coeficiente angular da reta, dada por:

clip_image002[20]

e n o coeficiente linear, ponto por onde a reta corta o eixo dos y. Neste caso n = 0, pois a reta cruza o eixo dos y na origem, logo:

clip_image002[22]

Temos então, que a área do pentágono é 10 vezes a área do triângulo sombreado da figura 3. Este triângulo pode ser decomposto em infinitos retângulos de altura y e largura infinitesimais dx. Notem que a altura será variável para cada retângulo:

image

[Figura 4]

A área do retângulo é dada por:

clip_image002[24]

A área do triângulo é dada pela integral definida:

clip_image002[26]

Mas y é a função f (x) = mx dada pela (5) e m é o coeficiente angular dado por (6). A integração será feita de da origem até o ponto x = a, que é o apótema do pentágono, logo, a (6) fica:

clip_image002[28]

clip_image004[7]

Integrando em relação a x:

clip_image002[30]

clip_image004[9]

Agora, já temos uma fórmula para calcular a área do triângulo, mas vamos trabalhá-la melhor: substituímos o apótema a da equação (9) pela relação (2):

clip_image002[32]

clip_image004[11]

clip_image006

clip_image008

Encontramos em (10) a fórmula para determinar a área de um triângulo, mas o pentágono é composto por 10 deste triângulo, logo:

clip_image002[34]

clip_image004[13]

Vejam que a fórmula encontrada é a mesma encontrada em (4) fazendo uso da trigonometria.


Veja mais:

Demonstração da Área do Círculo
A Área da Coroa Circular (Annulus)
O Número Prateado e a Área do Octógono Regular

14 comentários:

  1. Excelente demonstração!!! =P

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  2. Obrigado pela visita e comentário. Volte sempre!
    Um abraço!

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  3. Ei eu nao conseguir achar em lugar nenhum
    as demonstraçoes de seno cosseno que satisfase-se
    essas equaçoes
    sen(180-"a")= sen"a"
    cos(180-"a")=-cos"a"
    tg(180-"a")=-tg"a"
    vc poderia mi ajudar?

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  4. Olá amigo, o que você procura na verdade é a redução ao primeiro quadrante. Suponha que a=30°, então sen(180-30)=150°. Se reduzirmos ao primeiro quadrante, encontraremos que o sen(150°)= sen(30°). Isso você encontra em qualquer livro do ensino médio.

    Obrigado e um abraço.

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  5. use a formula da soma para $sen(a+b)$ que você encontra $sen(180-a)$ ok?

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  6. Essa explicação sua foi muito boa mesmo!!!!

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  7. Obrigado Marco. Este é um exemplo de como podemos chegar a um mesmo resultado utilizando métodos diferentes.
    Abraços.

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  8. Parabéns professor Kleber pela difusão do amor à Matemática!

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    1. Eu que agradeço a gentileza de seu comentário. Votle sempre.

      Abraços.

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  9. Boa tarde Kleber. Primeiramente gostaria de deixar aqui meu elogio à você por seu site que divulga boa matemática. Agora, se possível, queria te fazer uma pergunta/sugestão de tema: Você conhece a demonstração para a fórmula $\frac{l^2\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{4}$ citada no texto?

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    Respostas
    1. Olá Fábio, como vai? Obrigado pela visita e por deixar seu comentário. Quando fiz esta publicação, tentei chegar a esta fórmula, mas não consegui. Procurei demonstrações da mesma, mas não encontrei. Fiz então pela trigonometria e pelo cálculo, chegando a uma mesma fórmula alternativa. Fiz uma busca agora para ver se localizava uma demonstração, mas não encontrei. Uma pena.

      Obrigado novamente e um abraço!

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    2. Kleber, parabéns pelo site. Fábio, em vista do item (4), tudo se passa pelo cálculo efetivo de tan(36º). Eu iria escrever uma forma mais bonita de se calcular isso, mas como não sei incluir figuras nos comentários, indico o texto a seguir,

      http://www.doraci.com.br/downloads/matematica/pentagono.pdf

      onde o autor calcula sen(36º) e cos(36º). Então, é só fazer
      $$tg(36º) = \frac{sen(36º)}{cos(36º)}$$

      e depois de trabalhar um pouco resulta que
      $$tg(36º)=\frac{5}{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}.$$

      Agora é só trocar em (4) e pronto.

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    3. Obrigado amigo pelo material esclarecedor.

      Um forte abraço.

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