13/03/2010

Aplicação de derivadas para determinação de máximos e mínimos

Neste artigo, veremos alguns exemplos de otimização fazendo uso de derivadas.

 

Para encontrarmos os valores de máximo ou mínimo, primeiramente devemos encontrar a função que nos leva à solução do problema, calcular sua derivada e obter uma função que dependa somente de uma variável. Em seguida, igualamos a zero, obtendo uma equação. E por fim, calculamos seu valor e obtendo o valor de máximo ou de mínimo.

aplicacao-de-derivadas-para-determinacao-de-maximos-e-minimos

Exemplo 1:

Dado um cone de geratriz igual a $5\ cm$, determinar suas dimensões de modo que se tenha o maior volume possível.

 

Primeiramente, vamos esboçar um cone genérico, destacando o triângulo retângulo:

aplicacao-de-derivadas-para-determinacao-de-maximos-e-minimos-exemplo-1-cone

Lembrando que o volume do cone é dado por:

$$
V = \frac{1}{3} \cdot A_b \cdot h = \frac{1}{3}\ h\ \pi\ r^2 \tag{1.1}
$$

Dos dados fornecidos no enunciado do problema, temos que:

$$
5^2 = r^2 + h^2\\
\ \\
25 = r^2 + h^2
$$

Obtemos:

$$
r^2 = 25-h^2 \tag{1.2}
$$

Substituindo o valor de $r$ da relação $(1.2)$ na fórmula do volume do cone:

$$
V = \frac{1}{3}\ h\ \pi (25-h^2)\\
\ \\
V = \frac{25\ \pi\ h}{3} - \frac{\pi\ h^3}{3}
$$

Vamos agora calcular a derivada da função $V(h)$:

$$
V(h) = \frac{25\ \pi\ h}{3} - \frac{\pi\ h^3}{3}\\
\ \\
V^\prime = \frac{25\ \pi}{3} - \frac{3\pi\ h^2}{3}\\
\ \\
V^\prime = \frac{25\ \pi}{3} - \pi\ h^2
$$

Igualamos a zero para obtermos uma equação que nos leve ao valor de máximo:

$$
\frac{25\ \pi}{3} - \pi\ h^2 = 0\\
\ \\
\pi\ h^2 = \frac{25\ \pi}{3}\\
\ \\
h^2 = \frac{25}{3}\\
\ \\
h = \frac{5}{\sqrt{3}}\\
\ \\
h = \frac{5\sqrt{3}}{3}\\
\ \\
h \approx 2,88\ cm
$$

Encontramos a altura $h$ do cone. Agora, para encontrar o raio $r$ de sua base, substituímos o valor de $h$ na relação $(1.1)$:

$$
r^2 = 25 - h^2\\
\ \\
r^2 = 25 - \left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)^2\\
\ \\
r^2 = 25 - \frac{25 \cdot 3}{9}\\
\ \\
r^2 = 25 - \frac{25}{3}\\
\ \\
r^2 = \frac{75-25}{3}\\
\ \\
r^2 = \frac{50}{3}\\
\ \\
r^2 = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\\
\ \\
r^2 = \frac{5\sqrt{6}}{3}\ cm
$$

O cone que possui geratriz igual a $5\ cm$ e que possui o maior volume é o que possui as medidas:

 

Raio igual a : $\displaystyle r = \frac{5\sqrt{6}}{3} \approx 4,08\ cm$

 

Altura igual a: $\displaystyle h = \frac{5\sqrt{3}}{3} \approx 2,88\ cm$.

 

Exemplo 2:

Deseja-se confeccionar uma trave para um campo de futebol com uma viga de $18\ m$ de comprimento. Encontre as dimensões para que a área do gol seja máxima.

 

Iniciamos esboçando um desenho de uma trave genérica:

aplicacao-de-derivadas-para-determinacao-de-maximos-e-minimos-exemplo-2-trave

Pelos dados fornecidos no enunciado do problema, temos que:

$$
2x + y = 18
$$

Isolando $y$, obtemos:

$$
y = 18 - 2x \tag{2.1}
$$

A área do gol é dada pela fórmula da área de um retângulo:

$$
A = x \cdot y \tag{2.2}
$$

Substituindo a relação $(2.1)$ em $(2.2)$, obtemos:

$$
A = x(18 - 2x)\\
\ \\
A = 18x - 2x^2
$$

Agora, calculamos a derivada da função $A(x)$:

$$
A(x) = 18x - 2x^2\\
\ \\
A^\prime = 18 - 4x
$$

Igualamos a zero para obtermos uma equação linear que nos leve ao cálculo de máximo:

$$
18-4x=0\\
\ \\
4x=18\\
\ \\
x = \frac{9}{2}\\
\ \\
x = 4,5
$$

Encontramos a altura $x$ da trave. Para encontrarmos seu comprimento, substituímos o valor de $x$ na relação $(2.1)$:

$$
y = 18 - 2x\\
\ \\
y = 18 - 2\cdot \frac{9}{2}\\
\ \\
y = 18 - 9\\
\ \\
y = 9
$$

Portanto, a trave deverá ter altura de $4,5\ m$ e comprimento de $9\ m$ para que a área do gol seja a maior possível.

 

As dimensões oficiais de uma trave de futebol são dois postes de $2,44\ m$ e um travessão de $7,32\ m$.

 

Exemplo 3:

Um fabricante de caixas de papelão pretende construir caixas sem tampas a partir de folhas quadradas de cartão com área igual a $576\ cm^2$, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados para cima. Determinar o lado do quadrado que deve ser cortado para se obter uma caixa com o maior volume possível.

 

Interpretando o enunciado, podemos esboçar:

aplicacao-de-derivadas-para-determinacao-de-maximos-e-minimos-exemplo-3-caixa-sem-tampa

Como a área total é de $576\ cm^2$, o lado da folha vale:

$$
A = \ell^2\\
\ \\
576 = \ell^2\\
\ \\
\ell = 24\ cm
$$

O volume da caixa é dado pelo produto da área da base e sua altura:

$$
V = A_b \cdot h\\
\ \\
V = \ell^2 \cdot x\\
\ \\
V = (24-2x)^2 \cdot x\\
\ \\
V = (576-96x + 4x^2)\cdot x\\
\ \\
V = 4x^3 - 96x^2 + 576x
$$

Calculamos a derivada a função $V(x)$:

$$
V(x) = 4x^3 - 96x^2 + 576x\\
\ \\
V^\prime = 12x^2 -192x + 576
$$

Igualamos a zero, obtendo a equação quadrática:

$$
12x^2-192x+576=0
$$

Dividimos a equação por $12$ para facilitar os cálculos:

$$
x^2 - 16x + 48 = 0
$$

Aplicamos a fórmula de Bháskara:

$$
x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
\ \\
x = \frac{16 \pm \sqrt{64}}{2}\\
\ \\
x = \frac{16 \pm 8}{2}\\
\ \\
x_1 = 12\\
\ \\
x_2 = 4
$$

Encontramos dois valores para $x$, mas vejam que somente $x_2=4$ satisfaz o problema, já que temos o lado da folha igual a $\ell = 24-2x$ e se substituirmos $x_1=12$ na relação, obteremos um lado nulo. O que não faz sentido. Então, a caixa deverá ter as dimensões:

 

Para o lado:

$$
\ell = 24-2x\\
\ \\
\ell = 24 - 8\\
\ \\
\ell = 16\ cm^2
$$

E para a altura:

$$
h=x\\
\ \\
h = 4\ cm
$$

Exemplo 4:

Dividindo um arame de comprimento $L$ em duas partes, faz-se com uma das partes uma circunferência e com a outra um quadrado. Determinar o ponto em que se deve cortar o arame para que a soma das áreas geradas pelo quadrado e circunferência seja mínima.

 

Vamos fazer uma figura representativa:

aplicacao-de-derivadas-para-determinacao-de-maximos-e-minimos-exemplo-4-arame

Vamos adotar que a parte do arame de comprimento $x$ será a que faremos a circunferência $C$ e que a parte de comprimento $L-x$ será o perímetro $P$ do quadrado.

 

Temos que o comprimento da circunferência é dado por:

$$
C = 2\ \pi\ r\\
\ \\
x = 2\ \pi\ r
$$

Assim:

$$
r = \frac{x}{2\ \pi} \tag{4.1}
$$

A área do círculo é dada por:

$$
A = \pi\ r^2 \tag{4.2}
$$

Substituindo $(4.2)$ na $(4.1)$, obtemos:

$$
A = \pi \left(\frac{x}{2\ \pi}\right)^2
$$

Assim:

$$
A = \frac{x^2}{4} \tag{4.3}
$$

O perímetro do quadrado é dado por:

$$
P = 4 \cdot \ell\\
\ \\
L-x = 4\ \ell
$$

E seu lado vale:

$$
\ell = \frac{L-x}{4} \tag{4.4}
$$

A área do quadrado é dada por:
$$
A = \ell^2 \tag{4.5}
$$

Substituindo $(4.4)$ em $(4.5)$, obtemos:

$$
A = \left( \frac{L-x}{4}\right)^2
$$

Assim:

$$
A = \frac{L^2-2Lx+x^2}{16} \tag{4.6}
$$

Queremos que a soma das áreas do círculo e do quadrado sejam mínima, então somamos as duas áreas, dadas em $(4.3)$ e $(4.6)$:

$$
A_T = \frac{x^2}{4\ \pi} + \frac{L^2-2Lx+x^2}{16}\\
\ \\
A_T = \frac{4x^2+\pi\ L^2 - 2\ \pi\ L\ x + \pi\ x^2}{16\ \pi}\\
\ \\
A_T = \frac{x^2(4+\pi) +\pi\ L^2 - 2\ \pi\ L\ x}{16\ \pi}
$$

Para obter:

$$
A_T = \frac{1}{16\ \pi} \Big[ x^2(4+\pi)+\pi\ L^2 - 2\ \pi\ L\ x \Big] \tag{4.7}
$$

Calculamos agora a derivada da função $A_T(x)$. Vejam que a função está em função de $x$ e $\pi\ L^2$ é uma constante:

$$
A_T(x) = \frac{1}{16\ \pi} \Big[ x^2(4+\pi)+\pi\ L^2 - 2\ \pi\ L\ x \Big] \\
\ \\
A_T^\prime = \frac{1}{16\ \pi} \Big[ x(8+2\ \pi) + 0 - 2\ \pi\ L \Big]\\
\ \\
A_T^\prime = \frac{x(8+2\ \pi)}{16\ \pi} - \frac{2\ \pi\ L}{16\ \pi}\\
\ \\
A_T^\prime = \frac{x(8+2\ \pi)}{16\ \pi} - \frac{L}{8}
$$

Igualamos a zero e obtemos a equação:

$$
\frac{x(8+2\ \pi)}{16\ \pi} - \frac{L}{8} = 0\\
\ \\
\frac{x(8+2\ \pi)}{16\ \pi} = \frac{L}{8}\\
\ \\
x(8 +2\ \pi) = 2\ \pi\ L\\
\ \\
x = \frac{2\ \pi\ L}{8 + 2\ \pi}\\
\ \\
x = \frac{\pi\ L}{4 + \pi}
$$

Portanto, o arame deverá ser cortado no ponto:

$$
x = \frac{\pi\ L}{4 + \pi}
$$

Exemplo 5:

Considere uma família de retângulos onde seus perímetros medem $64\ cm$. Encontrar as medidas de um retângulo em que sua área seja máxima.

 

Seja o retângulo:

aplicacao-de-derivadas-para-determinacao-de-maximos-e-minimos-exemplo-5-retangulo

O perímetro de um retângulo é dado por:

$$
P = 2x+2y
$$

Assim:

$$
64 = 2x + 2y
$$

Simplificando:

$$
32 = x + y \tag{5.1}
$$

Da relação acima, obtemos:

$$
x = 32 - y \tag{5.2}
$$

A área de um retângulo é dado por:

$$
A = x \cdot y \tag{5.3}
$$

Substituindo a relação $(5.2)$ em $(5.3)$, obtemos:

$$
A = (32 - y)\cdot y\\
\ \\
A = 32y - y^2
$$

Calculando a derivada da função $A(y)$:

$$
A(y) = 32y - y^2\\
\ \\
A^\prime = 32 - 2y
$$

Igualamos a zero, obtendo a equação:

$$
32 - 2y = 0\\
\ \\
32 = 2y\\
\ \\
y = 16
$$

Agora que encontramos o valor de um dos lados do retângulo, substituímos este valor na relação $(5.2)$:

$$
x = 32- y\\
\ \\
x = 32 - 16\\
\ \\
x = 16
$$

Com este resultado, concluímos que, para que a área seja máxima, o retângulo que possui a maior área é um quadrado cujos lados medem $16\ cm$.

 

Exemplo 6:

Dada a figura abaixo, encontrar as dimensões do retângulo destacado para que sua área seja máxima.

aplicacao-de-derivadas-para-determinacao-de-maximos-e-minimos-exemplo-6-retangulo-e-triangulos

Temos que encontrar uma equação em termos de $x$ e $y$. Por semelhança de triângulos, temos:

aplicacao-de-derivadas-para-determinacao-de-maximos-e-minimos-exemplo-6-triangulos

Assim:

$$
\frac{8}{8-y} = \frac{6}{x}\\
\ \\
8x = 48 - 6y
$$

Isolando $x$:

$$
x = 6 - \frac{3}{4}\ y \tag{6.1}
$$

A área do retângulo é dada por:

$$
A = x \cdot y \tag{6.2}
$$

Substituindo o valor de $x$ na $(6.2)$:

$$
A = \left( 6 - \frac{3}{4}\ y\right)\ y\\
\ \\
A = 6y - \frac{3}{4}\ y^2
$$

Calculamos a derivada:

$$
A = 6y - \frac{3}{4}\ y^2\\
\ \\
A^\prime = 6 - \frac{3}{2}\ y
$$

Agora, igualamos a zero:

$$
6 - \frac{3}{2}\ y = 0\\
\ \\
\frac{3}{2}\ y = 6\\
\ \\
3y = 12\\
\ \\
y = 4
$$

Substituindo o valor de $y$ na $(6.1)$:

$$
x = 6 - \frac{3}{4}\cdot 4\\
\ \\
x = 6 - 3\\
\ \\
x = 3
$$

Portanto, para que o retângulo tenha área máxima, seus lados devem medir $3$ e $4$ e sua área será igual a $12$ unidades de área.

 

Exemplo 7:

Observando a figura abaixo, encontre o valor de $x$ para que a área sombreada seja máxima.

aplicacao-de-derivadas-para-determinacao-de-maximos-e-minimos-exemplo-7-quadrado-e-triangulos

A área sombreada é dada pela diferença das áreas:

$$
A_S = A_Q - (A_1+A_2) \tag{7.1}
$$

Vamos encontrar a área $A_1$:

$$
A_1 = \frac{x \cdot 2x}{2} = x^2 \tag{7.2}
$$

Agora, vamos encontrar a área $A_2$:

$$
A_2 = \frac{4\ (10-x)}{2} = 20-2x \tag{7.3}
$$

Substituindo as relações $(7.2)$ e $(7.3)$ em $(7.1)$, encontramos a função quadrática:

$$
A_S = 100 - (x^2 + 20 - 2x)\\
\ \\
A_S = -x^2 + 2x + 80
$$

Calculamos sua derivada:

$$
A_S^\prime = -2x + 2
$$

Igualamos a zero:

$$
-2x+2=0\\
\ \\
2x=2\\
\ \\
x=1
$$

Agora, já podemos encontrar os valores dos lados dos dois triângulos $1$ e $2$, mas ainda falta encontrar o valor da hipotenusa:

aplicacao-de-derivadas-para-determinacao-de-maximos-e-minimos-exemplo-7-triangulos

Observando o triângulo $1$, temos que:

$$
H_1^2 = 2^2 + 1^2\\
\ \\
H_1^2 = 4+1\\
\ \\
H_1^2 = 5\\
\ \\
H_1 = \sqrt{5}
$$

Do triângulo $2$, temos que:

$$
H_2^2 = 4^2 + 9^2\\
\ \\
H_2^2 = 16+81\\
\ \\
H_2^2 = 97\\
\ \\
H = \sqrt{97}
$$

Logo, os triângulos possuem as medidas:

aplicacao-de-derivadas-para-determinacao-de-maximos-e-minimos-exemplo-7-triangulos-hipotenusa

 

Exemplo 8:

Determinar as medidas do raio e da altura de um cone que contém uma esfera de raio $r=8$ unidades e com volume mínimo.

aplicacao-de-derivadas-para-determinacao-de-maximos-e-minimos-exemplo-8-esfera-inscrita-cone

Analisando a figura acima, podemos destacar dois triângulos retângulos e verificar suas semelhanças:

aplicacao-de-derivadas-para-determinacao-de-maximos-e-minimos-exemplo-8-triangulos-cone

Do triângulo da direita, temos:

$$
y^2 = z^2 + 8^2\\
\ \\
z^2 = y^2 - 64\\
$$

Assim:

$$
z = \sqrt{y^2 - 64} \tag{8.2}
$$

Por semelhança entre os triângulos, temos que:

$$
\frac{r}{8} = \frac{y+8}{\sqrt{y^2-64}}
$$

Isolando $r$:

$$
r = \frac{8(y+8)}{\sqrt{y^2-64}} \tag{8.2}
$$

Elevamos ambos os membros ao quadrado para eliminar a raiz:

$$
r^2 = \frac{64(y+8)^2}{y^2-64}\\
\ \\
r^2 = \frac{64(y+8)(y+8)}{(y-8)(y+8)}
$$

Obtendo:

$$
r^2 = \frac{64(y+8)}{(y-8)} \tag{8.3}
$$

O volume de um cone é dado por:

$$
V = \frac{1}{3}\ \pi\ h\ r^2 \tag{8.4}
$$

Substituímos a altura $h=y+8$ e a relação $(8.3)$ na relação $(8.4)$:

$$
V = \frac{64\ \pi}{3} \cdot \frac{(y+8)^2}{(y-8)} \tag{8.5}
$$

A relação acima é uma função $V(y)$ e para calcularmos sua derivada devemos aplicar a regra para derivada de uma função quociente.

 

Lembrando que, se $f(x)=\cfrac{u}{v}$, então $f^\prime = \cfrac{u'v-v'u}{v^2}$. Assim:

$$
V^\prime = \frac{128\pi (y+8)\cdot 3(y-8)-64\pi (y+8)^2\cdot 3}{9(y-8)^2}\\
\ \\
V^\prime = \frac{128\pi(y+8)(y-8)-64\pi(y+8)^2}{3(y-8)^2}\\
\ \\
V^\prime = \frac{128\pi(y^2-64)-64\pi(y^2+16y+64)}{3(y-8)^2}\\
\ \\
V^\prime = 64\pi \left[ \frac{2(y^2-64)-(y^2+16y+64)}{3(y-8)^2} \right]\\
\ \\
V^\prime = 64\pi \left[ \frac{2y^2-128-y^2-16y-64}{3(y-8)^2} \right]\\
\ \\
V^\prime = 64\pi \left[ \frac{y^2 - 16y - 192}{3(y-8)^2} \right]
$$

Agora, podemos igualar a zero. Observe que o valor de $y$ deve ser diferente de $8$ e de $0$:

$$
64\pi \left[ \frac{y^2 - 16y - 192}{3(y-8)^2} \right] = 0 \tag{8.6}
$$

A relação $(8.6)$ nos fornece uma equação composta por uma razão entre duas equações. Mas como o denominador não deve ser igual a zero, nos resta que a equação gerada pelo numerador seja igual a zero. Neste caso, também descartamos $64\pi$, pois é uma constante. Assim, obtemos uma equação quadrática:

$$
y^2 - 16y -192 = 0\\
\ \\
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\
\ \\
y = \frac{16 \pm \sqrt{256+768}}{2}\\
\ \\
y = \frac{16 \pm \sqrt{1024}}{2}\\
\ \\
y = \frac{16 \pm 32}{2}\\
\ \\
y_1 = 24\\
\ \\
y_2 = -8
$$

A raiz $y_2=-8$ não nos interessa, portanto tomamos $24$ como valor de $y$.

 

Para determinarmos as medidas do cone, tomamos sua altura, dada por:

$$
h = y + 8\\
\ \\
h = 24 + 8\\
\ \\
h = 32
$$

Agora, vamos determinar o raio da base do cone. Para isso, utilizamos o resultado obtido em $(8.2)$:

$$
r = \frac{8(24 + 8)}{\sqrt{24^2 -64}}\\
\ \\
r = \frac{256}{\sqrt{512}}\\
\ \\
r = \frac{2^8}{\sqrt{2^9}}\\
\ \\
r = 8\sqrt{2}
$$

As medidas do raio da base do cone e de sua altura são $r=8\sqrt{2}$ e $h=32$.

 

Referências:

  • Notas de aula

 

Links para este artigo:

 

Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Aplicação de derivadas para determinação de máximos e mínimos. Publicado por Kleber Kilhian em 13/03/2010. URL: . Leia os Termos de uso.


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31 comentários:

  1. Muito bom o post e obrigado pelas citações.

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  2. Excelente. Como é fascinante o raciocinio matemático quando a teoria flui de forma tão clara como a apresentada.

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  3. Obrigado amigo pelo comentário e pelo reconheciemnto do meu trabalho.

    Um abraço!

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    Respostas
    1. Este comentário foi removido pelo autor.

      Excluir
    2. Olá Romário, veja este exemplo, só muda os valores:

      http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20110704171725AA4BPUj

      Abraços.

      Excluir
  4. No seu primeiro exemplo você errou quando achou o valor do raio, pois era para ter dado 5 vezes raiz quadrada de 2 sobre RAIZ QUADRADA de 3, que racionalizando teremos 5 vezes raiz quadrada de 6 sobre 3.

    Att, Gustavo.

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    Respostas
    1. Verdade Gustavo. Corrigido. Obrigado por avisar. Um abraço!

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  5. Professor, antes de mais nada, muito obrigado por seu altruísmo de dividir conhecimento. Além de bastante claro, é um primor de didática.

    Caro professor, estou com uma dúvida. No exemplo 4, no desenvolvimento (4.3), não seria A = (x2) / 4pi? Não estaria faltando a letra grega no denominador?

    Desculpa se estou confundindo as coisas e fazendo perder seu tempo.

    Abraço
    Mauro

    ResponderExcluir
  6. Olá Mauro, obrigado por seu comentário. Sua dúvida procede, pois realmente faltou o $\pi$ no denominador. Deve ter sido um erro de digitação, já que mais abaixo o $\pi$ volta... vou arrumar esta passagem.

    Um abraço!

    ResponderExcluir
  7. KLEBER, QUE BOAS ORIENTAÇÕES AMIGO......VOU TENTAR FAZER A PROVA DO PROFMAT PELA TERCEIRA VEZ.....O QUE FAÇO PARA PASSAR MEU AMIGO... SOU PROFESSOR DE MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO......AQUI NA BAHIA......COLEGIO ESTADUAL......MAIS MINHA GRADUAÇÃO FOI A CONTINUADA APENAS 3 ANOS...LOGO TENHO DIFICULDADES EM DESAFIOS MATEMÁTICOS...E TAMBÉM TRABALHO COM MATEMÁTICA E FÍSICA...........UM GRANDE ABRAÇO

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  8. No exemplo 6, como ficaria se um dos lados do retângulo fosse sobre a hipotenusa?

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  9. Muito Bom..Parabéns!!!

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  10. Eu queria que, se possível, você me ajudasse nessa questão Kleber:
    Deve-se fazer uma caixa retangular com base quadrada e sem tampa. Achar o volume da máxima caixa que pode ser feita com 1200 pés quadrados de material.

    Obrigado! (:

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    Respostas
    1. Matheus, veja a resolução na imagem neste link: http://img51.imageshack.us/img51/7263/dv5d.jpg
      Para o volume, multiplicar área da base pela altura, acho que ficou faltando na resolução...

      Abraços.

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  11. Muito bom o post. Gostaria de saber o porquê de igualar a derivada à zero e a relação com aquela fórmula do Yvértice para calcular o máximo da área.

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    Respostas
    1. Flávio, Veja este comentário feito pelo Prof. Paulo Sérgio C. Lino:

      Primeiramente tem que ficar claro que nem todos os problemas de otimização envolvem funções quadráticas e por isso, o conceito de derivada é adequado.

      Antes de tudo, temos que definir o que é um ponto de máximo local e um ponto de mínimo local. Dizemos que um $P_0(x_0,f(x_0))$ sobre um gráfico de um função $f$ é um ponto de máximo local se $f(x) \leq f(x_0)$ para todo $x$ próximo ou numa vizinhança de $x_0$. A definição de ponto de mínimo local é análoga. E o que isso tem haver com derivadas? Aí surge o teorema de Fermat, que afirma que nos pontos de máximos e mínimos locais de uma função $f$, a derivada é nula. Por isso, que anulamos a derivada da função para encontrar tais pontos. Além disso, os pontos que anulam a derivada são chamados de pontos críticos. Nem todo ponto crítico é um ponto de máximo ou mínimo local, pois eles podem ser pontos de inflexão.

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  12. O valor do raio está errado, ao invés de 2 raiz de 2, é 8 raiz de 2.

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  13. Poderia me ajudar no esboço do desenho para desenvolver este exercício ... "Obtenha as dimensões da maior caixa fechada com base quadrada que pode ser construída com 12m² de papelão."...acredito que seja parecido com a questão 3.

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  14. Professor, acredito que o gabarito da ultima questão, com relação ao raio do cone esteja equivocado. Sendo ele, 8 raiz de 2, e nçao 2 raíz de 2. grato pela atenção, e muito bom os exercícios!

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    1. Corretíssimo Maurício. Em breve farei a correção. Obrigado por relatar o erro.

      Um abraço!

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  15. Alguém consegue me ajudar com este problema.
    Um metalúrgico foi contratado por uma fábrica de papel para projetar e construir um tanque retangular de aço, com base quadrada, sem tampa e com 108m³ de capacidade. O tanque será construído soldando-se chapas de aço umas às outras ao longo das bordas. Como engenheiro, sua tarefa é:
    a) determinar as dimensões para a base e a altura que farão o tanque pesar o mínimo possível, considerando um único tipo de aço.


    b) determinar as dimensões para a base e a altura que farão o tanque custar o mínimo possível, considerando que o preço do metro quadrado para a base será de R$ 202,00 e para as laterais será de R$ 186,00.

    c) nas condições descritas no item “b”, quanto custará o tanque?

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  16. De onde saiu 96 do exemplo 3?

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    1. Vem do produto notável:
      $$(24-2x)^2 = 576 - 96x + 4x^2$$

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    2. Olá!

      Segue a regra:

      a^2-2ab+b^2

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  17. como saber se vai maximizar ou minimizar a área, ao fazer a derivada?

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    1. Eu fiz a mesma pergunta a meu professor quando aprendi na faculdade. Disse que, se montar a equação corretamente, ela já te leva à maximização ou à minimização, de acordo com o problema.

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    2. Valeu, Kleber, isso faz muito sentido, a forma como moldamos a equação determina se a derivada levará ao máximo ou mínimo, tive essa luz ontem após umas pesquisas no Google. Concluí, também, que na dúvida, vale apelar para a segunda derivada uma vez que ela denuncia a concavidade, por exemplo, no caso de uma equação quadrática.

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  18. "Igualamos a zero para obtermos uma equação que nos leva ao valor de máximo" Por que se iguala a zero qual a ideia disto? porque pelo que sei igualamos a eq. do 2º grau para obtermos os zeros ou raizes da função

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    1. Olá amigo.

      Não confunda igualar uma equação a zero para encontrar suas raízes com igualar uma derivada a zero para determinar os pontos de máximos e mínimos de uma função.

      Quando uma função tem pontos de máximo ou mínimo, a primeira derivada é igual a zero nesse ponto, ou seja a reta tangente nesse ponto é paralela ao eixo dos x.

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