01/09/2010

A História do Símbolo do Infinito

Os Matemáticos estabeleceram a notação aparentemente críptica das fórmulas não como linguagem secreta, mas como maneira de aumentar a clareza. O símbolo de infinito é um dos primeiros exemplos disso.


A literatura matemática de antigamente era, pelo menos à primeira vista, mais compreensível e acessível do que hoje, pois para descrever objetos matemáticos e suas relações, os autores utilizavam a linguagem escrita corriqueira e então.

A moderna linguagem de fórmulas, que impõe vários obstáculos intransponíveis para muitos leigos e, com isso, contribui para a pouca popularidade da disciplina, deve sua existência não a uma necessidade de proteção de segredos. Ao contrário, ela é assim pela necessidade de clareza. A história mostra que os símbolos surgiram para melhor formular hipóteses e argumentos, e com isso ganhar enfoques novos e mais precisos.

O século $XVII$ representou um salto no desenvolvimento da matemática e das ciências naturais. Entre outras coisas, foi criado o cálculo diferencial e integral para tratar de problemas físicos concretos, relativos ao movimento e velocidades dos corpos. Na virada para o século $XVIII$, Isaac Newton $(1643-1727)$ e Gottfried Wilhelm Leibniz $(1646-1716)$ lançaram as bases de uma teoria sistemática. Essa evolução geral de conteúdo na matemática favoreceu o nascimento da linguagem de fórmulas.
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O inglês John Wallis $(1616-1703)$ foi um dos estudiosos mais ligados a esse desenvolvimento formal da matemática de seu tempo. Além de introduzir uma série de simplificações na escrita algébrica, ele foi o primeiro a abreviar o conceito de “infinito” com o símbolo $\infty$.

O problema do infinito – seu significado para a matemática, a filosofia e a teologia – era debatido havia mais de $2$ mil anos. Utilizada por Aristóteles, a palavra grega “apeiron” já se destacava no tempo pré-socrático pela sua multiplicidade de significados. Ela queria dizer sem limites, incerto, absurdamente grande, e possuía também uma conotação negativa, correspondente ao caos do qual o mundo se formou. Aristóteles, de fato, via a infinitude como imperfeição. Foi somente no início da era cristã que se identificou o “infinito” ao “Um” divino.

As reflexões metafísicas da Idade Média, acerca da natureza do infinito e da essência do contínuo, prepararam o terreno para a abordagem matemática do cálculo infinitesimal no século $XVII$. Por exemplo, ao descartar os métodos dos antigos no cálculo de superfícies, comparar um círculo com um polígono de infinitos lados e calcular a superfície do círculo como soma de muitos triângulos, Johannes Kepler $(1571-1630)$ tomou por base considerações filosófico-teológicas feitas por Nicolau de Cusa $(1401-1464)$ a respeito do infinito real e potencial.

A Algebrização da Geometria

Um aluno de Galileu, Bonaventura Cavalieri $(1598-1647)$, foi quem adotou a visão de que a leis que valem para grandezas infinitas são diferentes das que aplicam às finitas. Com seu método dos indivisíveis ele estava menos preocupado com especulações filosóficas do que obter uma maneira prática de solucionar problemas, e conseguiu contornar certas dificuldades na soma de grandezas infinitamente pequenas.

Em seus trabalhos matemáticos, John Wallis aprimorou métodos de Cavalieri. Depois da faculdade. Quando ainda não tinha nenhuma relação com a matemática, foi ordenado sacerdote em Londres. Durante esse tempo, colaborou para a fundação da Royal Society, e em $1643$ ganhou um prêmio especial por sai participação na guerra civil como decifrador de mensagens secretas.

Quando Wallis se tornou professor da cadeira Savilian de geometria, na Universidade de Oxford, isso não aconteceu por reconhecimento de suas realizações matemáticas, mas como agradecimento por suas atividades políticas. No entanto, ele logo provou ter méritos para essa posição acadêmica. Até hoje é lembrado como precursor do cálculo infinitesimal e principal antecessor de Newton, o qual foi bastante influenciado por sua obra Arithmetica infinitirum, de $1656$.

Antes, Wallis já escrevera um trabalho (De sectionibus conics, $1655$) em que se distanciava da concepção matemática grega ao descrever as seções da esfera como curvas planas, às quais correspondiam equações algébricas. Deduziu então as propriedades dessas seções diretamente das equações, sem argumento geométrico. Participou, assim, de um dos desenvolvimentos centrais da história da matemática, a algebrização da geometria.

Foi nessa obra que Wallis introduziu, pela primeira vez, uma modificação nas considerações de Cavalieri. Enquanto as superfícies de Cavalieri se dividiam em uma quantidade infinita de pedaços, Wallis fala de uma superfície como a soma de um número infinito de paralelogramos de igual tamanho, e descreve esse tamanho como uma “parte infinitamente pequena, $1/\infty$ do tamanho total, e o símbolo $\infty$ representa o infinito”.

A Possível Origem do Símbolo

Podemos apenas especular acerca das razões que o levaram a escolher esse símbolo. Wallis era filólogo bem antes de ser matemático, e sabia que o símbolo utilizado pelos romanos para o número $1.000\ (M)$ podia representar também “um número muito grande”. O matemático e filósofo holandês Bernhard Nieuwentijt $(1654-1718)$ aproveitou, em seu trabalho Analysis infinitorum, de $1695$, o símbolo "$m$" para o infinito. O novo símbolo de Wallis, porém, não tinha nenhum outro uso em matemática, além de ser bastante sugestivo, como laço que sempre retorna a si mesmo, como sugere a sequência representada abaixo:

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No começo do século $XVIII$, o símbolo entrou na literatura matemática e filosófica, sempre relacionado ao conceito do infinitamente pequeno, cuja legitimidade e significado estavam amparados pelo cálculo infinitesimal que nascia. Com o trabalho de Leonhard Euler $(1707-1783)$, que adotou um ponto de vista formal e não admitiu legitimações metafísicas para as grandezas infinitamente pequenas, o símbolo ∞ tornou-se parte integrante da linguagem matemática.

No transcorrer do século $XIX$, a teoria das grandezas infinitesimais foi definitivamente substituída pela moderna teoria do cálculo diferencial e integral, que passou a exigir, com base no estudo de conceitos como os de continuidade e convergência, um cuidado crescente com a exatidão formal e lógica. O símbolo $\infty$ indicava, como hoje, processos de passagem ao limite: ele descreve, no sentido de Aristóteles, um infinito potencial.
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George Cantor $(1845-1918)$, fundador da teoria dos conjuntos e, portanto, da moderna teoria matemática do infinito real, preferiu separar os dois tipos de infinito também simbolicamente. Ele representou o primeiro número transfinito (infinito real) como $\aleph_0$ (álefe zero). Essa escolha parece arbitrária só à primeira vista, pois a partir de $1700$, o símbolo $\infty$ começou a ser utilizado também fora da matemática e da filosofia, para a representação do infinito ou da eternidade – por exemplo, nas cartas de tarô que representam o mago ou o trapaceiro. O correspondente símbolo cabalístico era a letra hebraica álefe.

Referências:

[1] Scientific American - Edição Especial nº 15: As diferentes faces do infinito

Veja mais:

Breve Cronologia de PI
O Princípio de Cavalieri
A História do Número Zero



24 comentários:

  1. Interessantíssimo !!!

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  2. Parabéns pelo site. Muito bacana.
    Um "prato cheio" para matemáticos ;)
    Vou voltar sempre ;D

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  3. Excelente matéria. Gosto deste blog pelos artigos de primeira que vocÊ publica. Parabéns!

    Nelson Rodrigues

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  4. Olá Nelson,
    Agradeço seu comentário e elogios.
    Um abraço!

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  5. Anabela Matoso21/11/2010 10:20

    Gostei muito de ler. Estamos sempre a aprender!
    Muito obrigada!

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  6. Olá Anabela, agradeço seu comentário. É verdade. Quanto mais aprendemos, menos sabemos. Há muito conhecimento a ser descoberto para alimentar nossa mente.

    Um abraço!

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  7. Parabéns !!!!

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  8. Parabens,consegui esclarecer todas as minhas duvidas a respeito desse simbolo.

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  9. Eu que agradeço seu comentário. Abraços.

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  10. Parabéns, ajudou-me bastante em uma pesquisa sobre demonstrações de fórmulas da trigonometria.

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  11. Tudo muito bem escrito. Parabéns!

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  12. Olá Odair,
    Obrigado pela visita e elogios.
    Um abraço!

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  13. Parabéns pelo site, muito didático e estimulante.
    Permita-me pequena correção: a palavra grega correta é APEIRON e não "aperion". A palavra APEIRON consta de um fragmento atribuido ao filósofo ANAXIMANDRO (século 6 A.C.) e seu significado é objeto de polêmica, podendo ser "ilimitado" ou "indefinido", em um contexto bem específico de reflexão sobre a origem das coisas. Posteriormente, ARISTÓTELES, ao comentar Anaximandro, conferiu a apeiron o significado de "espacialmente infinito".
    a serra - niterói - rj
    serra.amaral@hotmail.com

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  14. Olá Amaral,
    Agradeço por sua leitura atenta e a disposição em deixar seu comentário com esta bela passagem histórica, contribuindo com a etimologia da palavra Apeiron. (corrigido!)
    Obrigado pelos elogios!
    Um abraço.

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  15. Obrigada, Kleber!
    "acerca da natureza do infinito e da essência do contínuo"

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  16. Eu que agradeço Margarida. Tenha um ótimo domingo!

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  17. oi meu nome eh dayana...
    e adorei a materia busquei conhecer mais a historia pq tattuei esse simbolo em meu braco junto com as inicias do meu falecido marido e queria entender um pouco mais esse foi o melhor esclarecimento que eu tive e acredito que o mais verdadeiro parabens...

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  18. Olá Dayana,

    Que bom que gostou do artigo. O símbolo do infinito é realmente fascinante e mesmo os não-matemáticos o admiram. Ter este símbolo tatuado junto com as iniciais, remete à eternidade. Boa escolha.

    Um abraço e volte sempre.

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  19. Muito bom, vou voltar aos estudos matemáticos

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  20. Olá, meu caro!

    Meus parabéns site, bem esclarecedor. Eu tatuei esse símbolo no ombro, entre os nomes dos meus pais. Eu sabia que era uma figura matemática, mas alguém veio me dizer é simbologia da Nova Era "satânico". Fiquei preocupado e decidi ir mais a fundo nas pesquisas, graças a você estou mais tranquilo. Contudo, o importante é a intensão da tatuagem, mesmo assim estou satisfeito com suas explicações.

    Obrigado,

    Jair Gonçalves

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    Respostas
    1. Que bom Jair que este artigo lhe foi útil.

      Muitas pessoas tem uma visão preconceituosa daquilo que não conhece. Preferem falar mal do que simplesmente pesquisar. O pentagrama segue a mesma linha.

      O símbolo do infinito é muito legal. No teu caso deve simbolizar o amor infinito pelos pais. Ainda pode ser associado a o ouroboros, que remete à eternidade, ou ainda à evolução, voltada sobre si mesma.

      Obrigado por compartilhar sua história conosco.

      Um abraço.

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