02/09/2010

As Curvas Contínuas sem Derivadas

Uma curva é, em termos gerais, um objeto semelhante a uma linha, mas que não é obrigatoriamente reta. Uma curva é o lugar geométrico ou trajetória seguida por um ponto que se move de acordo com uma ou mais leis especificadas, neste caso, as leis comporão uma condição necessária e suficiente para a existência do objeto definido. Frequentemente há maior interesse nas curvas em um espaço euclidiano de duas dimensões (curvas planas) ou três dimensões (curvas espaciais), no entanto, as curvas podem ser construídas em dimensões não-inteiras, como por exemplo, a curva de Van Kock.

Curvas contínuas sem derivadas

A fim de distinguir continuidade e diferenciabilidade, o matemático alemão Karl Weierstrass construiu em 1872 uma função definida pela seguinte série convergente:
\begin{equation*}
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\ a^n\ \cos \left( \pi\ b^n\ x \right)
\end{equation*}
Trata-se de uma função que é contínua em todos os pontos, mas não é derivável em nenhum.

Essa função é muito difícil de visualizar. Peano construiu uma curva definida por um processo infinito de iterações, contínua, não derivável em nenhum ponto e que, no infinito, preenche todo o plano de dimensão 2.

Curva de Peano

Na página da Wolfram Alpha podemos simular as iterações e visualizar graficamente a curva. Percebemos que a partir d4 iterações, já temos o plano praticamente preenchido.

Preenchimento do plano em 4 iterações


Para simular outras iterações, utilize o widget abaixo. Digite o número de iterações e em seguida clique em Submit:



Van Kock elaborou outra curva de dimensão não-inteira $(4/3)$ em forma de floco de neve:


Curva de Van Kock em forma de floco de neve

Para simular outras iterações, utilize o widget abaixo. Digite o número de iterações e em seguida clique em Submit.



Links para esta postagem:


Referências:

  • As diferentes faces do infinito - Scientific American Edição Especial Nº 15

Veja mais:


Siga também o blog pelo canal no Telegram.

Compartilhe esse artigo:


Achou algum link quebrado? Por favor, entre em contato para reportar o erro.
Leia a política de moderação do blog. Para escrever em $\LaTeX$ nos comentários, saiba mais em latex.obaricentrodamente.com.

5 comentários:

  1. Muito bom este post. Ontem mesmo estava comentando com os alunos de Cálculo sobre o fato que toda função derivável é contínua e falei que existem funções que não possuem derivadas em nenhum ponto. Hoje você publica de forma espetacular sobre este assunto. Parabéns pelo post. Abraços!

    ResponderExcluir
  2. Olá Paulo, agradeço seu comentário e elogios. Essa revista da Sciam que citei a fonte é simplesmente fantástica! Tem outros artigos sobre o infinito muito interessantes que vou aproveitar para publicar aqui.

    Um abraço!

    ResponderExcluir
  3. Boa Tarde Kleber,
    Gostaria muito que você(ou alguém que já demonstrou)mostrasse a demonstração de tal pergunta:Mostre a função f: R->R dada por sen(x²) não é uniformemente continua usando a definição de continuidade uniforme.
    Desde já obrigado!
    José Marcelino

    ResponderExcluir
  4. Olá José Marcelino,

    Acho que esta pergunta juntamente com a resposta encontra-se no livro de Análise Vol. 1 do Elon Lages Lima, que não tenho aqui.

    Este blog procura divulgar apenas conceitos mais básicos da Matemática, tais como, Cálculo e Geometria Analítica. Questões de Análise fogem ao escopo do blog.

    Consultei um amigo, mas também não soube responder de imediato.

    Mesmo assim, obrigado pela pergunta.

    Um abraço!

    ResponderExcluir
  5. Boa tarde
    Encontrei a resposta mas algumas passagens das contas não estão bem detalhadas,não entendi direito o porque ele chegou os resultados das contas.E a resposta é essa:
    Tomamos
    xn =√(n +1/2)* pi e
    yn =√pi*n_, então yn − xn =√(n +1/2)*pi - √pi*n = (pi/2)/(√((n)+1/2)*pi) +√((n)*pi) → 0
    onde acima racionalizamos a fração. Porém
    f(yn) − f(xn) = sen((n +1/2)*pi)− sen(n*pi) = sen((n + ½)*pi)
    e tal sequência não tende a zero.
    Kleber agradeço muito pela atenção mas uma vez.
    José Marcelino

    ResponderExcluir

Whatsapp Button works on Mobile Device only

Pesquise no blog