As Curvas Contínuas sem Derivadas

Uma curva é, em termos gerais, um objeto semelhante a uma linha, mas que não é obrigatoriamente reta. Uma curva é o lugar geométrico ou trajetória seguida por um ponto que se move de acordo com uma ou mais leis especificadas, neste caso, as leis comporão uma condição necessária e suficiente para a existência do objeto definido. Frequentemente há maior interesse nas curvas em um espaço euclidiano de duas dimensões (curvas planas) ou três dimensões (curvas espaciais), no entanto, as curvas podem ser construídas em dimensões não-inteiras, como por exemplo, a curva de Van Kock.

A fim de distinguir continuidade e diferenciabilidade, o matemático alemão Karl Weierstrass construiu em 1872 uma função definida pela seguinte série convergente:

\begin{equation*}
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\ a^n\ \cos \left( \pi\ b^n\ x \right)
\end{equation*}

Trata-se de uma função que é contínua em todos os pontos, mas não é derivável em nenhum.

Essa função é muito difícil de visualizar. Peano construiu uma curva definida por um processo infinito de iterações, contínua, não derivável em nenhum ponto e que, no infinito, preenche todo o plano de dimensão 2.

Na página da Wolfram Alpha podemos simular as iterações e visualizar graficamente a curva. Percebemos que a partir d4 iterações, já temos o plano praticamente preenchido.

Para simular outras iterações, utilize o widget abaixo. Digite o número de iterações e em seguida clique em Submit:

Van Kock elaborou outra curva de dimensão não-inteira $(4/3)$ em forma de floco de neve:

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Links para esta postagem:

• http://bit.ly/curvas-derivadas
• https://www.obaricentrodamente.com/2010/09/as-curvas-continuas-sem-derivadas.html

Referências:

• As diferentes faces do infinito - Scientific American Edição Especial Nº 15

Veja mais:

• Períodos matemáticos
• Panorama da história do cálculo
• Dimensions: Um passeio matemático