27/12/2010

Relações entre as Escalas Termométricas

Uma escala termométrica corresponde a um conjunto de valores numéricos, em que cada um desses valores está associado a uma temperatura.

Para graduação das escalas foram escolhidos, para pontos fixos, dois fenômenos que acontecem sempre nas mesmas condições: a fusão e a ebulição da água, ambas sob pressão normal (equivalente ao nível do mar).

Admitindo certa temperatura na escala Celsius, como relacioná-la com as escalas Kelvin e Fahrenheit? Considere o esquema abaixo:


Analisando a disposição acima, podemos estabelecer, buscando uma proporção entre os tamanhos dos seguimentos representados pelas três escalas.

Os seguimentos $C_1$, $K_1$ e $F_1$ vão do ponto de fusão ao ponto de ebulição. Estes seguimentos tem tamanhos iguais, pois vão do ponto de fusão ao de ebulição da água nas três escalas.

Os seguimentos $C_2$, $K_2$ e $F_2$ vão do ponto de fusão a um ponto qualquer das escalas Celsius, Kelvin e Fahrenheit. Vemos que estes seguimentos também tem tamanhos iguais, pois relacionam uma temperatura genérica.

Fazemos:
\begin{equation*}
\frac{C_2}{C_1}=\frac{K_2}{K_1}=\frac{F_2}{F_1}
\end{equation*}
Substituindo os valores, obtemos:
\begin{equation*}
\frac{C-0}{100-0}=\frac{K-273}{373-273}=\frac{F-32}{212-32}\\
\ \\
\frac{C}{100}=\frac{K-273}{100}=\frac{F-32}{180}
\end{equation*}
Simplificando, obtemos:
\begin{equation}
\frac{C}{5}=\frac{K-273}{5}=\frac{F-32}{9}
\end{equation}
Da relação $(1)$ obtemos as fórmulas de conversão entre as escalas de temperatura:

Celsius para Kelvin

\begin{equation*}
K=C+273
\end{equation*}
A temperatura do corpo humano é de $36°\ C$. Quanto mede esta temperatura na escala Kelvin?
\begin{equation*}
K=36+273\\
\ \\
K=309
\end{equation*}
Logo, a temperatura é de $309°\ K$.

Celsius para Fahrenheit

\begin{equation*}
\frac{9}{5}C=F-32\\
\ \\
F=\frac{9}{5}C+32
\end{equation*}
A temperatura do corpo humano é de $36°\ C$. Quanto mede esta temperatura na escala Fahrenheit?
\begin{equation*}
F=\frac{9}{5}\cdot36+32\\
\ \\
F=64,8+32\
\ \\
F=96,8
\end{equation*}
Logo, a temperatura é de $96,8°\ F$.

Veja mais:

A escala Kelvin
Equação de Clapeyron
Comportamento Térmico dos Gases Perfeitos

15 comentários:

  1. Por que a relação entre as escalas é proporcional?

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  2. Olá Renato,
    Para saber como foi convencionado cada escala, precisarei fazer uma pesquisa, pois não sei ou não me lembro saber. São proporcionais pois a cada ponto de variação de temperatura na escala C, é variado também uma mesma quantidade na temperatura K e uma mesma quantidade MF, onde M é uma constante de proporcionalidade:
    $C=\frac{5}{9}(F-32)$.
    Vou fazer um novo post sobre temperaturas onde procurarei explicar melhor estas proporções. O intuito neste post foi de relacionar as 3 escalas termométricas.

    Obrigado pelo comentátrio e um abraço!!!

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  3. Olá Kleber. Tudo bom?
    Cheguei ao seu site através da indicação do professor de Matemática, Francisco Valdir, que sempre tem me apoiado.
    Deixo te falar:
    Sou professor de Física do Ensino Médio e quero parabenizá-lo pelo seu excelente blog. Não conheço nada similar, em termos de qualidade, aqui na internet.

    A respeito das escalas termométricas, nas minhas aulas, eu sempre faço questão de demonstrar na lousa, como se chega à fórmula de conversão, ao invés de apenas mostrá-la pronta aos alunos, e resolver exercícios de aplicação da fórmula.
    Acho que, neste caso, não é tão difícil dos alunos entenderem, ao contrário de outras fórmulas, em que as demonstrações seriam um pouco mais complicadas, como é o caso da função horária dos espaços, para o movimento uniformemente acelerado, conhecida nos cursinhos pré-vestibulares, como fórmula do "sorvetão".

    Infelizmente, devido ao pouco tempo de aula disponibilizado aos professores do Ensino Médio, somos obrigados a cortar algumas etapas. Então fica esta coisa de decorar fórmulas por musicas e historinhas. Fazer o que, não é mesmo?
    Abraço

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  4. Olá Jairo, tudo bem? Espero que sim!
    Obrigado pelo comentário com suas palavras de elogio e apoio! Faço o melhor que posso, nem sempre é o ideal. Mas vou tocando no meu ritmo.
    O Valdir é uma peça rara! Temos conversado muito por e-mail, onde me tem dado a maior força! Também me põe a par das pesquisas que vem fazendo. Realmente uma mente privilegiada! Estamos vendo a viabilidade de calcular o torque da Terra! Sim, será que é possível? Teremos que considerar somente a interação do Sol, por exemplo, para que fique menos complicado. Creio que teremos um pouquinho de trabalho.
    A respeito deste post sobre escalas termométricas, fiz a demonstração das fórmulas de conversão, mas ainda ficou faltando explicar sobre o zero absoluto (que pretendo postar em breve) e o porque das escolhas das escalas (porque 0°C = 273°K = 32°F), o que explicaria a pergunta do Rentao feita logo acima. Preciso me aprofundar um pouco mais.
    Creio que a maneira mais fácil dessa "garotada" alguma coisa é contar histórias e cantar músicas.. (já diziam que o professor tem que ser um artista!)
    Deixo você à vontade para sugerir, criticar ou mesmo comentar sobre algum post.

    Um forte abraço Jairo!

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  5. Respondendo sobre o porque das escalas serem proporcionais...

    A razão é constante porque ela não depende das escalas e sim do material dilatador que possui um único coeficiente de dilatação.

    Assim, para que esta razão seja constante, estamos supondo que colocaremos o mesmo material dilatador nos três termômetros,
    por exemplo, álcool ou mercúrio.

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  6. Acho que a minha pergunta seria por que a razão não depende das escalas...
    Mas olhando melhor para a figura que você fez: em termos geométricos, nos três casos são os mesmos segmentos, só estamos usando unidades de medida diferentes em cada caso.

    "Mudar a unidade de medida não muda a razão."

    Acho que esta é a questão... O que sustenta essa afirmação?

    O que você acha?

    ResponderExcluir
  7. Tantos comentários que resolvi também participar. Com relação as indagações do Renato, veja este exemplo: 1/2 = 30 cm/60 cm = 0,3 m/0,6 m = 300 mm/ 600 mm e assim por diante. E o mesmo ccorre com as escalas termométricas.

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  8. Olá Renato,

    A pergunta que você colocou acho que foi muito bem exemplificada pelo Paulo. O que está sendo medido é a mesma grandeza, mas em escalas diferentes.

    Agradeço Paulo, pela simplicidade de sua colocação.

    Abraço a todos!

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  9. Ola, preciso saber demonstrar como se chegam as equações termométricas atráves do gráfico acima.

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  10. Na verdade eu quero converter de F para K ajuda.

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    Respostas
    1. Faça o seguinte:

      $$\frac {K-273}{5}=\frac {F-32}{9} $$
      $$ K=273+\frac {5}{9}(F-32) $$

      Substitua o valor de F e encontre K.

      Excluir
  11. PARABÉNS EXCELENTE POST, ME FEZ LEMBRAR OS TEMPOS DO CURSO MAHUEL EM RECIFE ONDE O PROF MAURO FAZIA UMA PIADA C CLUBE DE REGATAS FLAMENGO-32 ABAIXO BARRA - BARRA - BARRA 5+4=9 C/5 R/4 F-32/9 MUITO BOM E COM A ADIÇÃO DA ESCALA KELVIN, AMANHÃ VOU PODER ESPLICAR PLARA GALERA DO CURSO DE EDIFICAÇÕES (ELETRICA - RESISTORES SOB TEMPERATURA) VALEU DEMAIS

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  12. Muito legal esse post. Podemos também fazer um gráfico relacionando as escalas Celsius e Fahrenheit, demonstrando que o único valor coincidente entre as mesmas, interseção das restas, é o -40° C ou F.

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