30 de jan de 2011

A Aritmética de Peano


Em $1889$, o matemático Giuseppe Peano $(1858-1932)$ resumiu as características estruturais nos números naturais em uma lista de axiomas enunciados em lógica simbólica. Esta última era uma linguagem de primeira ordem (ou seja, uma linguagem na qual aparecem somente predicados aplicados aos objetos da linguagem, mas não predicados aplicados aos predicados e nem proposições), com identidade (cujo símbolo é $=$) fica definida por duas propriedades:

$P1)$ $a=a; \: a=b \rightarrow b=a; \: (a=b \: \text{e}\: b=c) \rightarrow a=c$

$P2)$ $a_1=a_2 \rightarrow \varphi (a_1) = \varphi (a_2)$

Isso significa que: $P_1)$ é uma relação reflexiva, simétrica e transitiva; e $P_2)$ quando dois objetos são idênticos, sempre que um deles possuir uma propriedade de $\varphi$, o outro também possuirá.

O conceito central da aritmética de Peano é o "sucessor": todo número natural $x$ tem um sucessor. Esse sucessor não pode ser escrito como $x+1$, pois a adição não foi definida. Peano indica então como $s(x)$ (sucessor de $x$) o número que se segue a $x$ e especifica que a função $s$ está definida para todo número natural $x$. Ele formaliza assim uma propriedade importante dos números naturais (pode-se sempre contar um a mais) e que, depois de especificada sua estrutura particular, servirá para estabelecer "tacitamente" que existem infinitos números.

As constantes da linguagem da aritmética de Peano são as seguintes: $0$ (o número zero); $s$ (a função "sucessor"), $+$ e $\times$ (as operações de adição e multiplicação). O significado dessas constantes fica definido pelos seguintes axiomas:

$A_1) \forall x \left(\neg s(x)=0\right)$

O zero não é o sucessor de nenhum número natural.

$A_2)$ $\forall x \forall y \left(s(x)=s(y)\rightarrow x=y\right)$

Números distintos têm sucessores distintos.

$A_3)$ $\forall \alpha \left( \alpha(0) \wedge \forall x\left(\alpha(x) \rightarrow \alpha\left(s(x)\right) \right)\rightarrow \forall xa(x)\right)$

Esse é o princípio da indução matemática completa: se uma propriedade $\alpha$ é verdadeira para o zero e se a frase "se $\alpha$ é verdadeira para um número $x$, então $\alpha$ é verdadeira também para seu sucessor $s(x)$" está correta, então a propriedade $\alpha$ é verdadeira para todo número natural.

$A_4)$ $\forall x \forall y (x+0=x) \wedge x+s(y) = s(x+y)$

$A_5)$ $\forall x \forall y (x \times 0 = 0) \wedge x\times s(y) = x \times y + x$

Os axiomas $A_4)$ e $A_5)$ definem, por indução, a adição e a multiplicação.

Referências:

$[1]$ Gênios da Ciência nº12 - A Vanguarda da Matemática e os Limites da Razão


Veja mais: 

Formulaire de Mathématiques - 1901 - Peano
Princípio da Indução Completa ou Raciocínio por Recorrência
Anotações Sobre Números Naturais e os Axiomas de Peano  no blog Fatos Matemáticos

23 de jan de 2011

O Índice NDVI

As plantas usam a clorofila para transformar a energia do Sol em energia química. Devido À clorofila, elas absorvem os componentes da radiação solar cuja cor se aproxima do vermelho (V) e refletem os componentes cuja cor se aproxima do infravermelho (IV).

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Os Governos usam imagens de satélites para o cálculo do NDVI, sigla em inglês para o Índice de Vegetação por Diferenças Normalizadas.

Quando um satélite tira uma foto da Terra, as imagens são analisadas e é possível dizer se há pouca ou muita vegetação em determinada região: Se a imagem contiver pouco vermelho (que as plantas absorveram) e muito infravermelho (que as plantas refletiram), significa que a região está coberta de vegetação saudável.

A análise é feita baseada na quantidade de pixels associados ao vermelho (V) e ao infravermelho (IV). Os dados são aplicados na fórmula:

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Numa imagem de uma cidade, o IV foi de 120 e o V foi de 100. Aplicando na fórmula obtemos:

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Numa imagem de uma área agrícola, o IV ficou em 220 e o V ficou em 19:

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Quanto mais a vegetação cobre o solo, mais o NDVI se aproxima de 100. Quanto mais o asfalto e o cimento cobrem o solo, mais o NDVI se aproxima de zero. Em Desertos o índice pode chegar a –100.

Depois de fotografar uma região, quase sempre as imagens são divididas em pequenas partes e estas em triângulos. A partir daí, para cada parte, os computadores calculam o NDVI e comparam as fotos atuais com as antigas para saber se a vegetação cresceu ou diminuiu.

Referências:

[1] Fonte: Revista Cálculo – Matemática para todos – V1


Veja mais:

A Matemática da Câmera Fotográfica
A Bolsa de Valores e a Sequências de Fibonacci
Fórmula para calcular o Tamanho do Sapato

20 de jan de 2011

Mais um Método para Aproximar a Raiz Quadrada

A fórmula que apresentada logo abaixo é uma aproximação para raízes quadradas, mas se nos deparamos com um problema e não temos uma calculadora na mão, ou o nosso celular ficou sem bateria, podemos usá-la sem medo. Vejamos:

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Onde, Q é o quadrado mais próximo de n.

Exemplo 1: se quisermos encontrar uma aproximação para a raiz quadrada de 17, procedemos da seguinte forma:

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Como o quadrado 16 é o mais próximo do número que queremos encontrar a raiz, aplicamos na fórmula (1):

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Pela calculadora encontramos o valor de 4,123...

Exemplo 2: se quisermos encontrar a raiz quadrada de 173, procedemos da seguinte forma:

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Como o quadrado de 13 é o mais próximo de 173, aplicamos na fórmula (1):

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Pela calculadora encontramos o valor de 13,1529...

Exemplo 3: Certo. E para raízes de números decimais? Usamos o mesmo princípio. Vamos encontrar uma aproximação para 0,0058.

Primeiro vamos deixar o número 0,0058 em sua forma fracionária:

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Vamos encontrar o quadrado mais próximo de 58, que é 64:

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Pela calculadora encontramos o valor de 0,07615...

Difícil?


Veja mais:

Método Babilônico para Aproximação da Raiz Quadrada
Método de Herão para Aproximação da Raiz Quadrada
Método de Newton para Aproximação da Raiz Quadrada
Aproximação da Raiz Quadrada de m Número n

19 de jan de 2011

Os Logaritmos Segundo Napier

image Certamente não era nada confortável uma viagem de Londres a Edimburgo no distante ano de 1615. Em veículos puxados a cavalos, por estradas esburacadas e poeirentas, o percurso parecia interminável. Mas para o eminente professor Henry Briggs (1556 – 1630), que ocupava no Gresham College de Londres a primeira cátedra de matemática criada na Inglaterra, valia a pena o sacrifício. Afinal, ia conhecer John Napier (1550 – 1617), que no ano anterior tornara pública uma invenção sua que sacudiria a matemática da época: os logaritmos.

O nobre escocês John Napier, Barão de Murchiston, ao contrário de Briggs, não era um matemático profissional. Além de administrar suas grandes propriedades, dedicava-se a escever sobre vários assuntos. Às vezes sem conseguir se livrar dos preconceitos da época, como num trabalho de 1593 em que procurava mostrar que o papa era o anticristo e que o Criador pretendia dar fim ao mundo entre 1688 e 1700. Às vezes como um visionário iluminado, como quando previu os submarinos e os tanques de guerra, por exemplo. Às vezes com a ponderação de um autêntico cientista, como no caso dos logaritmos, em cuja criação trabalhou cerca de 2º anos.

O termo logaritmo foi criado por Napier: de logos e arithmos, que significavam, respectivamente, “razão” e “número”. E a obra em que, no ano de 1614, apresentou essa sua descoberta recebeu o título de Mirifice logarithmorum canonis descriptio (ou seja, Uma descrição da maravilhosa regra dos logaritmos). Nela Napier explica a natureza dos logaritmos, segundo sua concepção, e fornece uma tábua de logaritmos dos senos de 0° a 90°, de minuto em minuto. A razão de aplicar sua idéia à trigonometria se deveu ao fato que o objetivo principal dessa tábua era facilitar os longos e penosos cálculos que navegadores e astrônomos enfrentavam diuturnamente.

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Em linguagem moderna, Napier concebeu os logaritmos da seguinte maneira: Imaginemos os pontos C e F percorrendo respectivamente o segmento AB e a semi-reta DX, partindo ao mesmo tempo de A e D, com a mesma velocidade inicial; admitamos, ainda, que, numericamente, a velocidade de C seja dada em função de CB e que a velocidade de F seja constante; nessas condições Napier definiu como logaritmo de x = CB o número y = DF. Assim, explicitamente, nesse conceito não intervém a idéia de base. Mas pode-se provar que:

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A potência de 107 surge aí porque Napier considerava que AB = 107. Aliás, à época de Napier o seno não era definido como hoje, por meio de uma razão; era a medida da semicorda do ângulo central, tomando como unidade um submúltiplo do raio da circunferência considerada. E, para evitar frações, um submúltiplo muito pequeno – no caso 1/107 do raio.

Napier também estava ansioso por conhecer Briggs, a ponto de se decepcionar com o atraso de sua chegada, achando que não viria. Consta que ao se verem ficaram vários minutos sem conseguirem articular nenhuma palavra. Durante o mês que Briggs passou em Edimburgo, certamente o assunto dominante de suas conversas com Napier foram os logaritmos. E acabaram concordando que uma tábua de logaritmos de base 10 seria mais útil. Mas Napier não viveria para levar a termo esse trabalho – Briggs e outros o fariam.

Considerando as prioridades da época, Briggs e Napier acertaram nessa opção. Mas, com o advento das calculadoras manuais e dos computadores, as tábuas de logaritmos perderam sua utilidade. Hoje, o que importa especialmente são certas propriedades funcionais da função logaritmo e de sua inversa, a função exponencial. E nesse sentido deve-se privilegiar, isto sim, a base e = 2,7182...

Texto de: Hygino H. Domingues


Veja Mais:

Utilizando Tábuas para Calcular Logaritmos
Utilizando Tábuas para Encontrar Aproximações de Raízes
Utilizando Tábuas para Encontrar Aproximações de Expressões Complexas

16 de jan de 2011

O Número Prateado e a Área do Octógono Regular

O Número Prateado vem se mostrando muito curioso em suas aplicações. Vamos ver como este número está relacionado à área de um octógono regular. Considere o octógono abaixo:

Octogono Regular [Figura 1: octógono regular]

Note que o ângulo AÔB = 45°, então:

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Logo, o ângulo AÔB = 22,5°, então:

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No triângulo AMO, retângulo em M, temos:

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Já vimos no post anterior sobre O Número Prateado na Trigonometria que:

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Substituindo (2) em (1), obtemos:

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Se S é a área do octógono regular, então S será igual à 8 vezes a área do triângulo AÔB:

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Mas, pela definição do número prateado, temos que:

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Logo:

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A relação (5) nos dá a área do octógono regular de lado l.

O desenvolvimento das demonstrações foram feitas pelo Professor Paulo do blog Fatos Matemáticos, que gentilmente me cedeu o material para publicar aqui neste blog. Fiz a formatação e a inserção de algumas passagens.


Vejam mais:

O Número Prateado
O Número Prateado na Trigonometria
Algumas Propriedades do Número Prateado no blog Fatos Matemáticos

15 de jan de 2011

O Número Prateado na Trigonometria

dAg_3 Vimos no primeiro post sobre o número prateado, uma breve introdução que o traz como algo novo, curioso, com grande potencial a ser explorado, mas sem muito formalismo. Neste post, veremos que esta constante também está relacionada à Trigonometria, nas funções seno, cosseno e tangente.

Vamos provar através da trigonometria e álgebra básica que:

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Da Trigonometria, sabemos que:

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Se considerarmos, por exemplo, um valor para θ = π / 8 = 22,5°, temos que:

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Multiplicamos o numerador e o denominador por (2 + √2):

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Pela definição do número prateado, temos que:

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Substituindo na equação acima, encontramos:

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Extraímos a raiz de ambos os membros relação acima:

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Da relação trigonométrica fundamental, temos que:

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Para θ = π / 8:

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Substituímos a relação (2) na relação (3):

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Pela definição do número prateado temos que:

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Substituindo na relação acima, temos:

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Extraindo a raiz:

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Podemos ainda determinar a tangente de π / 8:

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Substituímos os valores (2) e (4) em (5), obtendo:

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O desenvolvimento das demonstrações foram feitas pelo Professor Paulo do blog Fatos Matemáticos, que gentilmente me cedeu o material para publicar aqui neste blog.


Vejam mais:

O Número Prateado
O Número Prateado e a Área do Octógono Regular
Algumas Propriedades do Número Prateado no blog Fatos Matemáticos

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