16/01/2011

O Número Prateado e a Área do Octógono Regular

O número prateado, ou razão prateada é uma constante matemática. Seu nome é uma alusão ao Número de Ouro, que é a razão limitante da seqüência de Fibonacci. Analogamente, o número prateado é a razão limitante da sucessão de Pell.

Duas quantidades estão em proporção de prata se a razão entre a maior e a menor é o número prateado. Esta razão define o número prateado como um número irracional, cujo valor equivale a $1+\sqrt{2}$.

Veremos neste artigo como o número prateado está relacionado com a área do octógono regular.

O número prateado e a área do octógono regular


Analisando a imagem acima e pelas propriedades geométricas do octógono, o ângulo $A\hat{O}B = 45°$. Assim:
$$
A\hat{O}B = 45° = \frac{\pi}{4}
$$
Assim, o ângulo $A\hat{O}M=22,5°$:
$$
A\hat{O}M = 22,5° = \frac{\pi}{8} \tag{1}
$$
No triângulo $AMO$, retângulo em $M$, temos:
$$
\text{tg}\left( \frac{\pi}{8} \right) = \frac{AM}{OM} = \frac{\displaystyle \frac{a}{2}}{OM}=\frac{a}{2\ OM}\\
$$
$$
OM = \frac{a}{\displaystyle 2\ \text{tg} \left(\frac{\pi}{8}\right)} \tag{2}
$$
Já vimos no post O número prateado na trigonometria que:
$$
\text{tg}\left(\frac{\pi}{8} \right) = \frac{\sqrt{2}}{1+\delta_S} \tag{3}
$$
Substituindo $(3)$ em $(2)$, obtemos:
$$
OM = \frac{a}{\displaystyle 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{1+\delta_S}\right)}
$$
$$
OM = \frac{1}{2} \cdot \frac{1+\delta_S}{\sqrt{2}} \tag{4}
$$
Se $A$ é a área do octógono regular, então $A$ será igual a $8$ vezes a área do triângulo $AOB$:
$$
A = 8\cdot A_{\triangle AOB}\\
\ \\
A = 8 \cdot \frac{AB\cdot OM}{2}\\
\ \\
A = 4a \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{1+\delta_S}{\sqrt{2}}\\
\ \\
A = \frac{2\ a^2}{\sqrt{2}}\big( 1+ \delta_S \big)\\
\ \\
A = a^2 \sqrt{2} \big( 1+ \delta_S \big)
$$
$$
\delta_S = 1+ \sqrt{2} \tag{5}
$$
Logo:
$$
A = a^2 \sqrt{2} \big(2+\sqrt{2} \big)\\
\ \\
A = a^2 \big(2 \sqrt{2} + 2\big)\\
\ \\
A = a^2\ 2 \big(\sqrt{2}+1\big)\\
$$
$$
A = 2\ a^2\ \delta_S \tag{6}
$$
A igualdade $(6)$ fornece a área do octógono regular de lado $a$, relacionando com o número prateado.

O desenvolvimento deste artigo foi elaborado pelo professor Paulo Sérgio que gentilmente cedeu o material para ser publicado aqui no blog.

Links para este artigo:


Veja mais:

Siga também o blog pelo canal no Telegram.

Compartilhe esse artigo:



Achou algum link quebrado? Por favor, entre em contato para reportar o erro.
Leia a política de moderação do blog. Para escrever em $\LaTeX$ nos comentários, saiba mais em latex.obaricentrodamente.com.

Postar um comentário

Whatsapp Button works on Mobile Device only

Pesquise no blog