27/02/2011

Construindo Raízes de Números Naturais

A construção de raízes de números naturais utilizando régua e compasso é algo simples e belo de se ver. Vamos ver dois processos diferentes de obter o mesmo resultado.

Seja o triângulo retângulo de catetos iguais a a. Sua hipotenusa h1 assumirá o valor de a√2, segundo o teorema pitagórico:

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[Figura 1 – Triângulo retângulo]

Podemos construir um novo triângulo adjacente à hipotenusa do primeiro, cujos catetos medem a e a√2. Desta forma encontraremos sua hipotenusa h2 de valor a√3:

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[Figura 2 – Triângulos retângulos adjacentes]

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Assim, podemos continuar a construir triângulos retângulos adjacentes, cujos catetos medirão a e hN :

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[Figura 3 – Triângulos enésimos]

Pela figura acima, podemos observar que, para cada triângulo TN, um de seus catetos medirá a e o outro medirá hN – 1 .

Se assumirmos que o cateto a será um segmento unitário, teremos que as hipotenusas hN dos triângulos assumirão os valores de raízes dos números naturais.

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Então a figura 3 pode ser vista da seguinte forma:

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[Figura 4 – Raízes de número naturais]

Podemos ainda concluir algumas relações trigonométricas desta formação peculiar:

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[Figura 5 – Relações trigonométricas]

Observando a figura acima, temos de imediato que:

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No entanto, podemos substituir o valos de hN da relação (1) em (2), obtendo:

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Mas se a tem valor unitário, (3) assume a configuração:

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Podemos, ainda, encontrar raízes de número naturais utilizando as diagonais de quadriláteros. Observe a figura abaixo:

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[Figura 6 – Raízes através de quadriláteros]


25/02/2011

Construção de um Heptadecágono Regular com Régua e Compasso

O polígono regular de 17 lados é chamado de heptadecágono. Sua área é dada pela fórmula:

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Gauss provou em 1796, quando tinha apenas 19 anos, que o heptadecágono é construtível utilizando régua e compasso. Esta prova aparece em sua monumental obra Disquisitiones Arithmeticae. A prova ficará para uma próxima oportunidade. No momento, vamos reproduzir a elegante construção para o heptadecágono feita por Richmond, em 1893.

1) Com centro em O, descreva uma circunferência e trace um diâmetro, marcando P1:

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2) Trace o diâmetro d2 perpendicular ao diâmetro d1, em O, marcando A no encontro com C1:

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3) A um quarto da distância OA, marque J e una J a P1:

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5) Encontre E de modo que o ângulo OJE seja um quarto do ângulo OJP1:

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6) Encontre F de modo que o ângulo EJF seja 45°:

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7) Descreva C2 com diâmetro FP1. Marque K na intersecção com a OA:

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8) Descreva C3 com centro em E e raio EK. Marque L na intersecção com OP1:

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9) Construa a perpendicular a OP1 em L. Marque P4 na intersecção com a circunferência C1. Já temos os vértices P1 e P4 do heptadecágono:

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10) Utilizando a abertura do compasso de P1 a P4, construa os vértices P7, P10, P13 e P16. Em seguida os vértices P2, P5, P8, P11, P14 e P17. Em seguida os vértices P3, P6, P9, P12 e P15.

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11) Unindo todos os vértices, encontramos o heptadecágono regular:

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Veja mais:

Construção de um Heptágono Regular com Régua e Compasso (Parte I)
Construção de um Heptágono Regular com Régua e Compasso (Parte II)
Construções Geométricas Utilizando Régua e Compasso

19/02/2011

A Fórmula de Pick e a Aproximação de PI

Georg Alexander Pick (1859 – 1942) desenvolveu um teorema em 1899 que permite calcular a área de um polígono simples sobreposto a uma malha quadriculada, relacionando somente os nós localizados no perímetro deste polígono e o número de nós internos a ele.

Definição 1: Um nó é definido pela intersecção de duas retas da malha.

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[Figura 1 - Nó]

Definição 2: Um polígono simples é aquele que não possui buracos no seu interior, nem intersecções com suas arestas.

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[Figura 2 – Polígono simples e polígonos não-simples]

Teorema 1: Seja P um polígono simples. Sejam B o número de nós coincidentes ao perímetro e i o número de nós internos ao polígono. A área do polígono P será dada pela fórmula de Pick:

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Para determinarmos a área de um triângulo, vamos considerar a figura abaixo, onde os pontos vermelhos são os coincidentes ao perímetro e os pontos verdes são internos AP polígono.

image [Figura 3 - Triângulo]

Então, termos que B = 12 e i = 4. Aplicando na fórmula de Pick, obtemos:

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Pela fórmula conhecida para calcula de áreas de triângulos temos que:

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Vimos que é relativamente simples o cálculo. Claro que para determinar as áreas de triângulos é mais direto pela fórmula tradicional, mas para polígonos de complexa geometria, fica fácil determinar sua área:

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[Figura 4 – Polígono com geometria complexa]

Temos que B = 96 e i = 157, logo:

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Um estudo mais detalhado sobre a aplicação do Teorema de Pick em polígonos pode ser vista no link: http://cmup.fc.up.pt/cmup/pick/index.html

Como podemos relacionar o Teorema de Pick com π? Sabemos que π está relacionado com a fórmula da área do círculo:

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Podemos encontrar aproximações para π utilizando o Teorema de Pick, encontrando polígonos que melhores se ajustem ao círculo.

Considere a figura 5 um círculo de raio unitário:

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[Figura 5 – Círculo de raio 1]

Vejam que este círculo está entre os quadrados inscritos e circunscritos a ele. Vamos aproximar o valor de π pelos dois polígonos e observar qual melhor aproxima o valor de π. Para a aproximação pelo polígono interno, considere:

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[Figura 6 – Aproximação pelo polígono inscrito]

Temos que B = 4 e i = 1, logo:

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Pela equação (4), obtemos uma aproximação de π:

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Uma aproximação muito ruim. Agora considere a figura abaixo, com o polígono circunscrito:

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[Figura 7 – Aproximação pelo polígono circunscrito]

Temos que B = 8 e i = 1, logo:

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Pela equação (4), obtemos uma aproximação de π:

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Vejam que os valores encontrados em (5) e (6) são muito ruins, mas podemos aproximar melhor efetuando uma média entre os valores encontrados:

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Aproximou, mas ainda é muito ruim. Vamos efetuar o mesmo procedimento para uma círculo de raio 3 unidades de comprimento:

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[Figura 8 – Círculo de raio 3]

Vemos que o octógono é o polígono que melhor aproxima o círculo. Então temos que B = 16 e i = 21, logo:

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Pela equação (4), obtemos uma aproximação de π:

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Melhorou a aproximação, mas podemos melhorar ainda mais. Vamos aproximar π partindo de um círculo de raio 10 unidades de comprimento:

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[Figura 9 – Círculo de raio 10]

Temos então que B = 36 e i = 293. Logo pela fórmula de Pick:

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Pela equação (4), obtemos uma aproximação de π:

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Vemos que ainda há o que melhorar. Tomemos um círculo de raio 30 unidades de comprimento:

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[Figura 10 – Círculo de raio 30]

Temos então que B = 88 e i será igual a 1 quadrante vezes 4 mais 1 (que é o nó da origem comum aos quatro quadrantes: i = 2781. Logo pela fórmula de Pick:

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Pela equação (4), obtemos uma aproximação de π:

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Percebemos que o valor de π vai se aproximando cada vez mais de seu valor real. Poderíamos continuar com uma quantidade de nós cada vez maior para melhor aproximação, no entanto as ferramentas que disponho são totalmente manuais, gerando um trabalho enorme! Mas vejam que é natural que quando a quantidade de nós tende ao infinito, o valor aproximado de π tende ao seu valor real.


Vejam Mais:

A Fórmula de Pick no blog Fatos Matemáticos
O Teorema de Pick

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